传递现象基本方程.ppt

可以证明，这个矩阵是对称阵，即 证明如下： 取一个长宽高分别为dx, dy, dz流体微元，以其中心作为坐标原点，考察在xoy截面上，流体微元受到的剪应力状况，如右图所示，流体微团受到4个剪应力的作用，在剪应力的作用下流体微团将发生旋转。 （压应力由于通过流体微元的中心，因此不会使流体微团旋转） 这里规定力矩逆时针为正，顺时针为负 由力矩平衡可得： 化简可得 同理在其它截面上有： 由此可见在上述9个表面应力中只有6个是独立的，但这6个独立变量都是未知量，而方程只有3个。因此要想使方程能够求解，需要知道它们与已知量或与方程中其它未知量之间的关系。由于表面应力跟速度梯度有关系，因此应该将表面应力与速度梯度联系起来。 （四）牛顿流体的应力－速度梯度关系方程 前已述及，对于牛顿型流体的一维流动，在平行于流动方向上的切向力与速度梯度之间的关系为： 对于三维流动，每一切向力与其相应的两个方向上的速度梯度有关，其关系为 牛顿型流体剪应力－速度梯度关系方程 1、牛顿流体剪应力－速度梯度关系方程 2、牛顿型流体压应力－速度梯度关系方程 对于静止流体，压应力与静压力大小相等，方向相反。但对于流动流体，压应力除了包括静压力以外，还有一部分压应力是由流体的粘性引起的，它使流体微元承受拉伸或压缩，发生线性形变。 直角坐标系下，各压应力和流体的速度梯度关系如下： 牛顿型流体压应力－速度梯度关系方程 x方向 y方向 z方向 现在把牛顿型流体的压应力和剪应力与速度梯度的关系带入到用应力表示的动量衡算方程中，经化简以后就得到了流体运动方程的最终形式： x方向 y方向 z方向 将以上三式写成向量形式为： 上式即为牛顿流体的运动方程，也称为奈维－斯托克斯方程，该式对于稳态流动或非稳态流动、可压缩流体或不可压缩流体、理想流体或非理想流体均适用，但不适用于非牛顿流体？ 二、动量传递微分方程的简化 1、不可压缩流体的运动方程 由于不可压缩流体的连续性方程为 所以运动方程 2、理想流体的运动方程 什么是理想流体？ 就可以简化为 r方向 θ方向 z方向 三、其它坐标系下的动量传递微分方程 柱坐标下不可压缩流体的运动方程 r —— 为径向距离 θ—— 为方位角 z —— 为轴向距离 与连续方程一样，在某些情况下采用柱坐标或球坐标表示的奈维－斯托克斯方程更为简便、直观。 球坐标系下不可压缩流体的奈维－斯托克斯方程 r —— 为径向距离 θ —— 为余纬度 φ —— 为方位角 r方向分量 θ方向分量 φ方向分量 其中， 四、对动量传递微分方程的分析 （一）方程的可解性 以直角坐标系下的奈维斯托克斯方程为例，对于等温流动(μ =常数)，方程中共有5个未知数，而运动方程只有3个，加上一个连续性方程和一个流体流动状态方程f (ρ, p) = 0，这样5个方程、5个未知数，因此，从理论上讲方程是可解的。 但实际上，由于方程组的非线性和边界条件的复杂性，到目前为止，还无法将奈维－斯托克斯方程的普遍形式的解求出，只能针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。 奈维－斯托克斯方程描述的是任意瞬时流体质点的运动规律。原则上讲，方程既适用于层流也适用于湍流，但实际上，该方程只能直接应用于层流，而不能直接地用于求解湍流问题。 （二）方程中重力项的处理 对于大多数的实际问题，流体受到的体积力只是重力，即 fB = g。当流体为不可压缩流体时，重力这一体积力与流体的静压力有着密切的关系。 对于静止的不可压缩流体，直角坐标系下的奈维－斯托克斯方程 当流体流动时，流体内部的压力除了静压力外，还有一项动压力，即推动流体向前流动所需要的压力，用pd来表示。这时， 将其带入奈维－斯托克斯方程得 ps——流体的静压力 可以简化为： 这样，以动压力梯度表示的运动方程中将不出现重力项，从而简化了对方程的求解。从物理意义上讲，静压力由重力引起，因此静压力与重力刚好相互抵消，这时运动方程中的各项就都只与流体流动有关。 引入动压力可以使方程中不出现重力项，但这并不意味着重力在任何情况下都不会对流体流动产生影响。因为重力项虽然在方程中可能不出现，但在边界条件中有可能出现。这里分两种情形进行考虑： （1）如果在边界条件中只包含有速度项而不含有压力项，直接利用上式求解时将不会出现重力项。在此情况下可以认为重力的存在不会对流体的流动造成影响，比如在封闭管道中流体流动问题。 （2）如果在边界条件中含有压力项，利用上式求解时将会出现重力项（即 ps 项），这时重力项通过边界条件又重新出现了，它将对流体流动起作用，比如具有自由表面的流体流动问题。 最后指出，以动压力梯度表示的流体运动方程仅适用于不可压缩流体 第四节 能量传递微分方程 一、能量传递微分方程的推导 能量传递微分方程又称能量方程，它是以热力