平面图形的几何性质教程.ppt

? 例 题 对于任一组合图形确定形心主惯性矩的方法 1.建立坐标系； * §I-3 平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 §I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯 性轴和主惯性矩(选讲) §I-1 截面的静矩和形心 §I-2 极惯性矩· 惯性矩· 惯性积 附录I 平面图形的几何性质 圆轴扭转： 还将遇到一些新的截面几何量，为方便以后的研究，现在从纯几何的角度集中研究这个问题。 杆件中的应力和变形，不仅与外力相关，而且与截面的几何形状与尺寸相关。 轴向拉压： A、IP、Wt 都是与截面形状与几何尺寸有关的量，称为截面的几何性质（或截面几何量），也称为平面图形的几何性质。 平面图形对 y 轴的静矩。 §I-1静矩和形心 一、静矩 dA y z y z O 1、量纲：m3、mm3 2、静矩值可为＋、－、0。 3、平面图形关于对称轴的静矩值为0。 zdA为微面积对 y 轴的静矩； ydA为微面积对 z 轴的静矩。 定义： dSz － ydA ＝ 0 ＝ ydA 平面图形对 z 轴的静矩。 y O z对称轴 z -y y z dA dA §1静矩和形心 一、静矩 二、形心及位置坐标 形心：即为图形的几何中心。对于均质薄板，重心、质心与形心重合 。 形心坐标： A y O z yC zC C dA z y 即： 1、平面图形对形心轴的静矩为零。 则 yC＝0 若 z为形心轴, 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 形心轴：通过形心的坐标轴。 反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。） y z O C 形心 二、形心及位置坐标 三、组合图形（组合截面）的静矩与形心 1．组合图形： 由简单图形(矩形、圆形等）组合而成的图形。 2．组合图形的静矩： 组合图形由A1、A2、??An组成，其形心分别为（zC1，yC1） （zC2，yC2） ?? （zCn，yCn）。 因此： 3、组合图形的形心坐标公式： 利用形心与静矩的关系： 2、所选坐标系不同，求得的形心坐标就不同，但形心在图形中的位置是固定不变的。 1、一定要建立坐标系。若图形有对称轴，选取对称轴为坐标轴可简化计算。 求形心时注意： 10 10 40 10 30 30 例题：求图示截面的形心。 y z O 建立参考坐标系Oyz如图。 解： 1 2 3 188.75 （1）将此图形分为大矩形Ⅰ和小矩形Ⅱ。 （3）由对称性可知 （2）建立坐标轴：以图形的竖直对称 轴为z 轴，过Ⅱ底边的轴取为y轴。 例题：求图形的形心。 200 300 10 10 10 解： I II O z y C §I-2 惯性矩和惯性半径 定义 平面图形对z 轴的惯性矩 对y 轴的惯性矩 对原点的极惯性矩 1、IP、 Iy 、 Iz的量纲 m4； iy 、 iz的量纲 m ；值恒正。 微面积dA对z 轴的惯性矩为：y2dA z y O ρ dA z y 对y、z 轴的惯性半径 D1 D2 d 极惯性矩IP z y O ρ dA z y z’ y’ 惯性矩 惯性半径 极惯性矩 2、极惯性矩反映了平面图形相对于一点的分布情况。 惯性矩、惯性半径反映了平面图形相对于坐标轴的分布情况。 由于 圆为中心对称， 所以 y z O y O z 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对该点的极惯性矩。 3、由于 平面图形对yz 轴的惯性积 1、 Iyz的量纲 m4，可正、可负、可为零。 z y O dA z y y O z对称轴 2、 平面图形关于含对称轴在内的正交坐标轴的惯性积等于0。 z -y y z dA dA 例4：求圆截面关于对称轴的惯性矩。 由于 z、y 均为对称轴， 根据 可得： 解： 所以 同样，对应空心圆截面： 而 要求必须掌握 y z O b h 例5：求矩形截面关于对称轴 y、 z 轴的惯性矩。 同样， 要求掌握 y z O z dz §I-3 平行移轴公式 平面图形面积为A，形心C，形心轴为yC，zC。 由惯性矩定义 对于坐标系Oyz， y∥yC， z∥zC 。 微面积dA相对 y 轴的坐标为： z=zC+a 因为 yC为形心轴, 而 所以 （要求掌握） 由此可知，平面图形对形心轴的惯性矩最小。 b z y O A C yC zC zC yC a z y dA (a、b为图形的形心在Oyz中的坐标） C（ b， a ） 求矩形对y1轴的惯性矩和y1z1轴的惯性积。 b h z O y z1 y1 例 平行移轴公式 1、 yC，zC为形心轴。 2、y