新湘教版八年级数学下册2.1.1多边形的内角和.ppt

2.1 多边形 第1课时 多边形的内角和 你能从图2-1 中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？ 图2-1 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 组成多边形的各条线段叫作多边形的边. 相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点. 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线. 相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角. 观察 例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角. 多边形根据边数可以分为三角形，四边形，五边形，…… 图2-2 四边形 五边形 三角形 我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形(即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁)； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中。今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。 图 2 比 一 比 图1 观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形. 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？ 如图2-3，四边形ABCD的一条对 角线AC 把它分成两个三角形，因此 四边形的内角和等于这两个三角形的 内角和， 即180°×2=360°. 图2-3 动脑筋 转化思想 思考： 五边形、六边形、七边形等多边形的内角和又是多少度呢？ 在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点 画出所有对角线，并完成下表. 五边形 六边形 七边形 八边形 探究 五边形 5 3 （5-2） × 180° 六边形 6 七边形 7 图形 边数 可分成三角形的个数 多边形的内角和 五边形 六边形 八边形 8 … … … … n边形 n 4 （6-2） × 180° （7-2） × 180° 5 （8-2） × 180° 6 (n-2) （n-2）×180° 五边形 六边形 七边形 八边形 如图2-4，n边形共有n个顶点A1，A2，A3，…，An. 在与顶点A1不相邻的顶点有(n-3)个，因此从顶点A1出发共有(n-3)条对角线，n边形被分成了(n-2)个三角形. n边形的内角和等于这(n-2)个三角形的内角和，因此n边形的内角和等于(n-2)·180°. 图2-4 你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？ 动脑筋 如图2-5，在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）·180°. 图2-5 n边形的内角和等于(n-2)· 180° 由此得出： 结论 多边形的内角和定理 作用： (1)已知多边形的边数求多边形的内角和； (2)已知多边形的内角和求多边形的边数(建立方程) 正n边形的每一个内角= (n-2)· 180° n 例1（1）十边形的内角和是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于1980°， 它是几边形？ 解 （1）十边形的内角和是 (10-2)×180°= 1440°. （2）设这个多边形的边数为n，则 （n-2 )×180°= 1980°， 解得n = 13. 所以这是一个十三边形. 举 例 （1）正十二边形的每一个内角是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？ 练习 过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？ 3.n边形共有多少条对角线？ 谈谈你这节课的收获： （1）这节课我们主要学习了多边形的内角和公式。 课堂小结 n边形的内角和等于(n-2)· 180° （2）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，共能得到 条对角线；把n边形分成（n-2）个三角形。