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信息论与编码第2章习题解答
PartA(1-11 ) 123458918
PartB(12-17 )
20
《信息论与编码》第二章习题解答
3 2 3
2.1 A 村有一半人说真话， 人总说假话， 人拒绝回答；B 村有 人诚实，一半
10 10 10
2
人说谎， 人拒绝回答。现随机地从A 村和B 村抽取人，p 为抽到A 村人的概
10
率，1–p 为抽到B 村人的概率，问通过测试某人说话的状态平均能获得多少关于该
人属于哪个村的信息？通过改变p ，求出该信息的最大值。
[解]用X 表示随机抽取人所属的村别，Y 表示说话的状态，则X 和Y 之间的关系图如下
所示。
X Y
0.5 y1 说真话
A 0.3
0.3 y2 撒谎
B 0.5
0.2
0.2 y3 拒绝回答
P(A) P(B) 1
P(y ) 0 .5 p (A) 0.3[1 p (A)]
1
P(y 2 ) 0.3 p (A) 0.5[1 p (A)]
P(y 3 ) 0 .2p (A) 0.2[1 p (A)] 0 .2
3
H (Y) p (y ) log p (y )
i i
i 1
H (Y | X ) P (A)H (Y | X A) P(B)H (Y | X B )
H (0.5,0.3,0.2)
0.5log0.5 0.3log0.3 0.2log0.2 1.485 bit
I (X ; Y) H (Y) H (Y | X )
由对称性，当P(A) P(B) 0.5 时，互信息最大，这时
H (Y ) 0.4log0.4 0.4log0.4 0.2log0.2 1.522 bit
所以
I (X ; Y) H (Y) H (Y | X ) 0.037 bit
2.2 一个无偏骰子，抛掷一次，如果出现 1，2 ，3，4 点，则把一枚均匀硬币投掷一次，
如果骰子出现5，6 点，则硬币投掷二次，求硬币投掷中正面出现次数对于骰子出
现点数所提供的信息？
1
[解]令X x 表示掷骰子出现 1，2 ，3，4 点，X x 表示出现5，6 点，Y 表示出现
1 2
硬币正面的次数，于是X 和Y 具有如下关系
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