数学物理方法第3章幂级数-2016教程.ppt

§3.1.1 复变函数项级数的敛散性 的无穷级数称为复变函数项级数，式中z为复变数，wk(z)是复变函数． (1) 收敛与发散的定义： 当n→∞时，若级数(3.1.1)的部分和 的极限存在，即 则称级数 wk(z) 在z点收敛, S(z)称为级数在z点的和；否则称级数在z点发散． 若级数在区域D(或曲线L)上所有的点收敛，则称级数在D(或L)上收敛，级数收敛的区域称为收敛域． (2) 级数收敛的必要条件 (3.1.4) 证明：由级数收敛的定义(3.1.3)得级数收敛的必要条件 (3) 级数收敛的充要条件 ( 柯西收敛方法) 任给 e0, 存在正整数N(e, z)，使当n N(e, z)时，对任意自然数 p , 有 则级数 wk(z) 在 z点 收敛 §3.1.2 绝对收敛级数的定义、判别法 1. 绝对收敛级数的定义 若级数 在z点收敛， 则称级数 在z点绝对收敛. 2. 绝对收敛级数的判别法 级数 的每一项是正实数，故 绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法: 达朗贝尔(d’Alembert)判别法; 柯西判别法; 高斯(Gauss)判别法 3. 绝对收敛级数的性质 绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得级数仍绝对收敛且级数和不变． 两个绝对收敛级数 和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数，且收敛于SS ，即 【例3.1.1】试证明，在区域|z|l内 这个结论非常重要，在证明泰勒定理(3.3节)、洛朗定理(3.4节)，以及将函数展开为幂级数时都要用到． §3.1.3 一致收敛级数的定义、判别法和性质 设级数 定义在区域D(或曲线l)上． 级数一致收敛的定义： 任给 e0，存在与z无关的正整数 N(e)，使当nN(e) 时，对于D (或l) 上的 z，均有 |S(z)一Sn(z)|＜e (3.1.8) 则称 在D(或l上)一致收敛于S(z)． 注意： N(e) 与 z 无关。 设级数 定义在区域D(或曲线l)上． 2. 级数一致收敛的充要条件： 任给 e0，存在与z无关的正整数N(e)，使当nN(e)时，对任意自然数p,有 则称 在D(或l上)一致收敛． 讨论 第一，级数在D(或 l )上收敛与一致收敛的差别仅在于：要使式 (3.1.5)［它与式(3.1.9)形式上完全相同］成立，前者的N(e, z)可依赖于e, z，而后者的N(e)仅能依赖于e，而不能依赖于z . 第二，“绝对收敛”与“一致收敛”对级数提出不同的要求： 有的级数绝对收敛而不一致收敛； 有的级数不绝对收敛而一致收敛； 也有的级数既绝对且一致收敛． 这个例子说明了收敛与一致收敛两者的差异． 3. 级数一致收敛的性质 4. 级数一致收敛的判别法 除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还有两个很有用的判别法，如表3-2所示． M判别法：也称魏尔斯特拉斯(Weierstrass)M- 判别法 M判别法：也称魏尔斯特拉斯(Weierstrass)M- 判别法 幂级数是由幂函数组成的无穷级数 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数的中心，ak 为幂级数的系数。 §3.2.1 阿贝尔定理 定理 若幂级数 ，在某点z0收敛，则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝对收敛，并在 |z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2) 的闭圆上一致收敛． 证明 证明的关键是要找到一个收敛的正项级数 因级数在z0点收敛，由级数收敛的必要条件 可知，必存在正数M,对所有k均有 |ak(z0-b)k|＜M (3.2.3) 这样，当|z-b|＜|z0-b| 时，有  因为