数值 李庆扬 第7章 非线性方程与方程组的数值解法教程.ppt

* * P229例10 用弦截法解方程 。 解：迭代公式为 选取开始值为 注意：① 弦截法比牛顿法收敛速度快； ② 计算时要用到前两步的结果 。 * * 弦截法具有超线性的收敛性 定理6 假设 在根 的邻域 ： 内 具有二阶连续导数，且对任意 有 又初值 ，那么当邻域 充分小时， 弦截法将按阶 收敛到 。 这里 是方程 的正根。 * * 7.5.2 抛物线法 设已知方程 的三个近似根 、 、 以这三点为节点构造二次插值多项式 适当选取 的一个零点 作为新的近似根 ——抛物线法（密勒法） 几何意义： 过节点 、 、 作抛物线 抛物线与 轴的交点 即为根 的近似值 * * 二次插值多项式为 有两个零点 在三个近似根 、 、 中，往往 更接近所求根 需选取零点中较接近 的一个值作为新的近似根 为此，只要取根号前的符号与 的符号相同即可 * * P229例11 用抛物线法求解方程 。 解：选用例10中迭代的前三个值计算 * * 在一定条件下可以证明： 抛物线法迭代误差有下列渐近关系： 即抛物线法也是超线性收敛的，其收敛的阶数 ， 其收敛速度比弦截法更接近于牛顿法。 注：抛物线法适用于求多项式的实根，也适用于求复根。 迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取。 * * 说明 ① 定理表明： ② 如果 时 ： 则该迭代过程只可能是线性收敛的。 ③ 在例4中： 迭代法（3）的 ，故它只能是线性收敛； 迭代法（4）的 ， ，迭代为二阶收敛。 * * 7.3 迭代收敛的加速方法 7.3.1 埃特金加速收敛方法 设 是根 的某个近似值，用迭代公式迭代一次： 由微分中值定理： （ 在 与 之间 ） 假定 变化不大： ， * * 将校正值 再迭代一次： 因而有： 消去 ： 可推得： 注意：① 上式是对两次迭代值加权平均后的结果，可加速迭代； ② 适用任何求根序列 ，不只局限于不动点迭代序列。 已知求根序列 ，其三个相邻值为 * * 埃特金加速法（ 加速法）： 加速计算，得到新值 ， ， ——点 的一阶差分； ——点 的二阶差分； 可以证明：新序列 的收敛速度比 的收敛速度快 * * 7.3.2 斯特芬森迭代法 把埃特金加速法与不动点迭代结合，就可得到斯特芬森迭代法： 斯特芬森迭代法是将两步迭代合成一步得到的： * * 斯特芬森迭代法思路： 为求解 的根 ，令 ： 已知 的近似值 及 ，其误差分别为： 把误差 “外推到零”： 即过 及 两点做线性插值函数， 它与 轴交点就是 。 * * 即求解方程： 其解为： 即： * * 定理5 对于斯特芬森迭代法 若 为迭代函数 的不动点，则 也为 的不动点。 反之，若 为 的不动点，设 存在， 则 也是 的不动点，且斯特芬森迭代法是二阶收敛的。 * * P221例5 用斯特芬森法求解方程 。 解：用迭代公式 求解方程是发散的。 改进上述迭代公式，斯特芬森迭代法： ， 因 ， ， * * P222例6 求方程 在 中的解 。 解：由方程得 ，并取对数 可构造迭代法 且 时， ，由定理2此迭代法是收敛的。 若取 迭代16次得 ，有六位有效数字。 若用斯特芬森 迭代法加速： * * 7.4 牛顿法 7.4.1 牛顿法及其收敛性 牛顿法基本思想：将非线性方程转化线性方程求解。 设已知方程