数值计算方法第二章教程.ppt

* 迭代公式的建立 取x作为原方程f (x) = 0的近似根x1，即 再重复用上述方法得 一般地，有迭代公式 * 牛顿迭代法的几何意义 当求得x*的近似值xk以后，过曲线y= f (x) 上对应点（xk, f (xk)）作f (x) 的切线，其切线方程为 求此切线方程和x轴的交点，即得x*的新的近似值xk+1必须满足方程 即牛顿法的迭代公式 的计算结果 * 牛顿迭代法的几何意义 * 例题 例2.4.1：用牛顿迭代法求 x=e-x 在0.5附近的根 解：由x=e-x ，有xex-1=0 由牛顿迭代公式 可知 取x0=0.5，计算结果如下所示： * 例题 k xk k xk 0 0.5 3 0.567143291 1 0.571020440 4 0.567143290 2 0.567155560 * 例题 例2.4.2：造平方根表，用牛顿迭代法计算 解：令 ，则x2-a=0, 求 等价于求f (x)= x2-a=0 的正实根，因为 f′ (x)= 2x ，由牛顿迭代公式得 当a=115时，取初值 x0=10，迭代4次可得10，10.7500，10.723837，10.723805， 10.723805 * 例题 例：用牛顿迭代法求 * 牛顿迭代法的收敛性 定理2.7：设 f (x*)=0， f ′(x*) ≠ 0， f ′′ (x*) 在x*邻域连续，则牛顿迭代法在x*局部收敛，且至少2阶收敛。并有 证：因为f (x*)=0 ，而f ′(x*) ≠ 0 ，在x*邻域，则 * 牛顿迭代法的收敛性 因为f ′′ (x)在x*邻域连续，则牛顿迭代法局部收敛，当f ′′ (x*) ≠ 0时， ? ′′(x*) ≠ 0 ，牛顿迭代法在x*邻域为二阶收敛。 牛顿迭代法的收敛性 * * 牛顿迭代法的修正 牛顿迭代法对初值的要求较高：要求初值x0充分接近x*才能保证局部收敛性。如果初值x0偏离x*较远，那么牛顿迭代法可能发散或收敛很慢。 例2.4.4：用牛顿迭代法求方程f (x) = x3 – x – 1 = 0在x= 1.5附近的根。 解：构造牛顿迭代公式 * 牛顿迭代法的修正 分别取初值1.5和0.6进行迭代计算，结果如下所示： k (初值1.5) (初值0.6) 0 1.5 0.6 1 1.34783 17.9 2 1.32520 11.9468 3 1.32472 7.986 牛顿迭代法的修正 牛顿下山法就是扩大初值范围的修正牛顿法，为了防止初值的选取造成迭代发散或迭代值偏离所求根而采用的一种对初值x0的修正措施。 要求迭代过程对所选的初值能达到使函数值单调下降，也就是要满足下山条件 将牛顿迭代法的计算结果 * 牛顿迭代法的修正 与前一步的近似值xk适当加权平均作为新的改进值xk+1 将上述两式合并可得牛顿下山法的迭代公式 其中?是一个参数，?的选取应满足0 ?? ≤ ? ≤1 ，??为下山因子下界。开始时可简单地取? = 1，然后逐步分半减少 * * 牛顿迭代法的修正 牛顿下山法的步骤 （1）选取初始近似值x0； （2）取下山因子? = 1； （3）计算 （4）计算f (x1)，并比较| f (x1)| 与 | f (x0)|的大小 ①若| f (x1)| | f (x0)| ，把x1带到牛顿迭代公式中进行迭代； ②若 | f (x1)| ≥ | f (x0)| ，则当?≤??计算过程结束，重新选择一个x0进行牛顿下山；否则当?＞??，则将下山因子缩小一半，取?/2代入，并转向（3）重复计算 * 牛顿迭代法的修正 例2.4.5：求方程f (x) = x3 – x – 1 = 0在1.5附近的一个根 解：已知方程f (x) = x3 – x – 1 = 0的一个根为x* = 1.32472，若取初值x0 = 0.6，用牛顿法计算 反而比x0 = 0.6更偏离根x*。若改用牛顿下山法 计算，仍取x0 = 0.6，计算结果如下表 * 牛顿迭代法的修正 k ? xk f(xk) | f(xk+1)|| f(xk)| 0 1 0.6 -1.384 1 1 17.9 5716 否 1/2 9.25 781 否 1/4 4.925 114 否 1/8 2.7625 17.319 否