现代控制理论-7教程.ppt

现代控制理论Modern Control Theory(7) 俞 立 浙江工业大学 信息工程学院 第3章 能控性和能观性分析 状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。 状态方程反映控制输入对状态的影响； 输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。 运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响 问题：希望系统有期望的运行，能否通过适当的外部输 入来实现呢？ 有两个问题：系统是否有这样的能力？ 如何来设计相应的控制器？ 前一个问题是分析，提出了能控性概念！ 后一个问题是设计，需要有各种设计方法！ 能控性是系统的一种能力，状态能控性和输出能控； 卡尔曼提出了能控性概念，奠定了现代控制理论基础。 作业：查阅能控性的原始文章 报告文章中的原始思想 3.1 系统的能控性 系统模型 定义 对系统的一个状态x0，存在某个时间段[0, T] 上定义的控制信号u，使得在该控制信号的作用下， 系统状态从x0转移到x(T)=0， 则称状态x0是能控的。 若系统的所有状态都是能控的， 则称系统是完全能控的, 也简称为能控的。有时也称矩阵对 是能控的。 问题：如何来判断能控性呢？ 能控性判据 根据定义，能控性判断要求找到到使得闭环系统状态从初始状态转移到零状态的一个控制律。 由运动分析： 则 其中的 即：如果系统能控，则线性方程组 一定有解。 理论上可以证明：以上结果的逆也是成立的。 从而，能控性问题转化为线性方程组的可解性问题！ 线性方程组 Ax = b 对所有的b有解的充分必要条件是系数矩阵A 满秩。 定理3.1.1 系统完全能控的充分必要条件是 能控性检验矩阵。 特点：只依赖状态矩阵A和输入矩阵B，和时间长短无关 是否满秩的方法： SISO：计算 的行列式 MIMO：计算行列式 MATLAB命令：ctrb(A,B) SISO：det(ctrb(A,B)) MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’) 例3.1.1 检验由以下状态方程描述的系统的能控性： 解 能控性检验矩阵 不是满秩的 故系统不能控。 例3.1.2 考虑倒立摆系统 线性化状态空间模型的 系数矩阵是 能控性检验矩阵 故系统是能控的。 解释！系统的状态 例3.1.4 考虑能控标准型 能控性检验矩阵总是非奇异的。 故系统是能控的。 能控标准形：能控的； 特殊的结构。 定理 系统完全能控的充分必要条件是存在常数T 0， 使得n 维矩阵 是非奇异的。 构造控制律 由能控性定义得到系统的能控性。 定理的说明 1。若系统能控，则对所有时间T， 都是非奇异的 2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律 3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 能控格拉姆矩阵 随着T 的减小， 减小， 增加 将随着T 的减小而增大，消耗更大能量！ 控制律是一个开环控制信号。 3.1.3 关于能控性的一些性质 能控性判据基于状态方程的系数矩阵。 问题：不同的状态空间模型表示是否有相同的能控性？ 定理3.1.3 等价的状态空间模型具有相同的能控性。 T是非奇异矩阵 ? 和 具有相同的秩。 问题：任意一个能控系统模型是否可以等价转化为能控标准型呢？ 定理 单输入能控系统的任意状态空间模型都能等价变换成能控标准型 证明 系统的状态方程 系统能控 要求寻找一个状态变换 使得变换后的方程 是能控的，故其能控性检验矩阵 也是可逆矩阵。 因此，要寻找的变换矩阵 算法： Step 1：确定系数 Step 2：构造矩阵对 Step 3：计算