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* * 第4章 控制系统稳定性 对于多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。 A. M. Lyapunov于1892年发表《运动稳定性一般问题》，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论适用于单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统的稳定性分析，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。 本章的主要内容为 1. 引言 2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 3. 李亚普诺夫第二法 5. 线性定常离散系统的稳定性 4. 线性连续系统的稳定性 6. 有界输入-有界输出稳定 7. 非线性系统的稳定性分析 4.1 引言 李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。 第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。 第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。 这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。 例4-1 一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。 令 （1） 选取状态变量 则系统的状态方程为 （2） 在任意时刻，系统的总能量 （3） 显然，当 时 ，而当 时 而总能量随时间的变化率为 可见，只有在 时， 。在其他各处均有 ，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。 Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。什么是系统平衡状态呢？ 如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 ， 因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。 平衡状态—— 一般地，系统状态方程为 ，其初始状态为 。系统的状态轨线 是随时间而变化的，若存在 状态点 ，当系统运动到该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，则称 为系统平衡状态。 4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 （6） （5） ≤ 定义 对于任意给定的实数 ，都对应存在实数 ，使得由满足不等式 的任意初始状态 出发的轨线 有 ≤ε 对所有 t ≥t0 成立，则称 为Lyapunov意义下是稳定的。 4.2.1 稳定的定义 则 非线性时变系统 （4） ——表示求欧几里德范数。 （即：表示空间距离） Lyapunov意义下稳定 渐进稳定 渐进稳定 4.2.2 渐近稳定 如果系统的平衡状态 是稳定的。从平衡状态的某个充分小的邻域内出发的状态轨线 ，当 时，收敛于 ，则称 为渐近稳定。 更精密的叙述如下： 如果系统的平衡状态 ，对于 ，存在 和 ，当 时，从 出发的 ，都有 并且 充分大时， 就充分小。则称 为Lyapunov意义下渐近稳定。当 与 、 无关时 ，则称 为一致渐近稳定。 4.2.3 大范围渐进稳定 如果 是整个状态空间中任一点，并且都有 则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。 当稳定性与 的选择无关时，称一致大范围渐近稳定。 不稳定 4.2.4 不稳定 对于任意的实数 ，存在一个实数 ，不论 取的多么小，在满足不等式 的所有初始状态中，至少存在一个初始状态 ，由此出发的轨线 ，不满足 称 为Lyapunov意义下不稳定 4.3 李亚普诺夫第二法 定义 如果标量函数 ，并且当 时， ；仅当 时，