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分层线性模型 Hierarchical Linear Models (HLM) 案例一对73个学校1905名学生进行调查考察其上高中时的入学成绩与3年后高考成绩之间的关系如何做回归？ * * * 做法一： 采用OLS 在学生水平上进行分析 得出入学成绩对高考成绩之间的一条回归直线（如图） 如图所示，传统分析并没有考虑不同学校之间的差异。 做法二： 将数据进行简单合并 用每个学校学生的平均成绩代替这个学校的成绩 直接在学校水平上估计入学成绩对高考成绩的影响，得出一条回归直线 如图所示，这种回归方法忽略了不同学生之间的差异 概念 一 分层线性回归模型： hierarchical linear models (HLM) 分层模型是由不同层次的自变量解释同一变量的一体化模型。 当数据存在于不同层级时，先以第一层及的变量建立回归方 程，然后把该方程中的截距和斜率作为因变量，使用第二层数 据中的变量作为自变量，再建立两个新的方程。通过这种处 理，可以探索不同层面变量对因变量的影响。 -包含了不通层次的测量变量 -在高层次模型中，第一层次的回归系数可被第二层次的解释变量所解释。 （学生成绩不仅受学生个体特征的影响，也受到学校环境条件因素的影响） 核心思想 二 1、功能： 多层线性模型主要用来处理具有层次结构特点的数据。 它能够考虑不同层次的随机误差和变量信息， 提供正确的标准误差估计； 得到更有效的区间估计与更精确的假设检验， 以及回归方程中截距和斜率之间的相关关系； 可以分析重复测量的数据，探讨以往关于同一问题的不同研究结论是否具有一致性。 2、和传统线性回归的区别： 我们在运用传统的线性回归模型分析和解决问题时， 必须保证所需的数据符合四个基本假设： 变量间存在直线关系， 变量总体上服从正态分布， 方差齐性， 个体间随机误差相互独立。 只有在这些条件下，传统的回归系数的估计才是有效估计，检验才是精确检验。 但当数据带有层次特征时，不再满足基本假设的后两条， 即方差齐性，个体间随机误差相互独立。 例如： 不同工厂的工人可以假设相互独立，但是同一工厂的工人由于受相同工厂 变量的影响，很难保证相互独立。此时随机误差有两部分构成，一部分是工人个 体间差异，另一部分是工厂之间的差异。由此可见传统的回归分析方法不再适用。 为了满足四条基本假设，必须将带有层次特征的数据分开在每一层上分析讨论。 分层以后，第一水平个体间的测量误差相互独立，第二水平工厂带来的误差在 不同工厂之间相互独立。 这也就是多层线性模型的核心思想。通过在不同数据层次上分别设立模型，高层变量通过对低层方程的截距和变量施加影响，从而达到相互联系的目的。从这个意义上讲，也有人将其称为“回归的回归”，但它与普通的“回归的回归”在参数估计和验证方法上有很大的区别 3、多层线性模型使用的参数估计方法： 多层线性模型使用的参数估计方法主要有迭代广义最小二乘法（IGLS）、 限制性的广义最小二乘估计（RIGLS）和马尔科夫链蒙特卡罗法。 除此之外还有期望最小二乘法（EGLS），广义估计方程法（GEE）， 经验贝叶斯估计等（MCMC）。这些方法在正态性假设成立，样本容量较大时， 得到参数的一致有效的估计。而大多数线性分析依靠的是普通最小二乘估计。 原理 三 一个简单的HLM模型： 重写成 i 表示个体，j 表示上层群体单位。 （i表示学生个体，j就表示学校） 该模型意味着按学校j对学生i进行回归 * * *