4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式.doc

第四章 三角函数 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式. 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力. 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）. 4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+）的简图，理解A、ω、的物理意义. 5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角. ●复习方略指南 本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin（ωx+）的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意： 1.弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫. 2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想. 3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”. 4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx= sin（x+）（其中角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定）将函数化成y=Asin（ωx+）+h的形式，再求其最值或周期等. 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式 ●知识梳理 1.任意角的三角函数 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=＞0）， 则sinα=，cosα=，tanα=. 上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式 sin2α+cos2α=1（平方关系）； =tanα（商数关系）； tanαcotα=1（倒数关系）. 3.诱导公式 α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 另外：sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα. ●点击双基 1.已知sin=，cos =－，那么α的终边在 A.第一象限 B.第三或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：sinα=2sincos=－＜0， cosα=cos2－sin2=＞0， ∴α终边在第四象限. 答案：D 2.设cosα=t，则tan（π－α）等于 A. B.－ C.± D.± 解析：tan（π－α）=－tanα=－. ∵cosα=t，又∵sinα=±， ∴tan（π－α）=±. 答案：C 3.α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为 A. B.± C.－ D.－ 解析：∵cosα===x， ∴x=0（舍去）或x=（舍去）或x=－. 答案：C 4.若=，则α的取值范围是_______. 解析：∵==， ∴cosα＞0.∴α∈（2kπ－，2kπ+）（k∈Z）. 答案：α∈（2kπ－，2kπ+）（k∈Z） 5.化简=_________. 解析：==|sin4－cos4|=sin4－cos4. 答案：sin4－cos4 ●典例剖析 【例1】 （1）若θ是第二象限的角，则的符号是什么? （2）π＜α+β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的范围. 剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限. （2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可. 解：（1）∵2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z）， ∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0. ∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0. ∴＜0. （2）设x=α+β，y=α－β，2α－β=mx+ny， 则2α－β=m