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考点6 函数的值域和最值 ※考纲解读※ ● 理解函数值域的概念,掌握求函数值域的基本方法. ● 会利用函数的性质和数形结合的方法求值域和最值. ※重点难点※ ● 掌握求函数值域的基本方法；正确选用不同的求解方法 ● 求函数的最值；复合函数的值域；含参函数的值域 ※命题探究※ ● 函数的值域和最值是每年高考的必考内容,若在小题中单独命题,一般难度不会大,利用基本方法可求解. ● 函数的值域和最值有时也会在某个综合题中出现,如讨论函数的性质,求解实际生活中的常用问题 ● 本内容涉及的考点有：①求函数的值域；②求函数的最值 ※高考赏析※ 1.(2011·重庆) 设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 A. -8 B. 8 C. 12 D. 13 【解析】 设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，……依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为13.故选D. 2.(2009·宁夏) 用表示三个数中的最小值,设,则的最大值为 A. B. C. D. 【解析】画出的图象，如右图，观察图象可知，当时，当时，当时，的最大值在时取得为，故选C。. (2002·全国)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达 到95933亿元,比上年增长.”如果“十五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按 此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为 A.115000亿元 B.120000亿元 C.127000亿元 D.135000亿元 【解析】首先要明白到“十五”末为4年,其次要理解每年比上年增长的含义,从而得出解析式.故“十五”末 我国国内年生产总值为亿元.故选C. 4.(2010·江苏) 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。 【解析】 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为，则： 方法一:利用导数求函数最小值。， ，，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。 方法二:利用函数的方法求最小值。令，则： 故当 时，的最小值是. 5.(2008·江苏) 设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0 即时，≥0可化为，， 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上 ※基础巩固※ 6.函数的最小值为 A. B. C. D. 【解析】利用构造法解题. 原命题等价于求两点的距离.故选A. 7.函数的值域是 A. B. C. D. 【解析】特值法.取排除A,D;取,排除C.故选B 8.(2006全国)函数的最小值为 A.190 B.171 C.90 D.45 【解析】,由 (当且仅当时取等号),得 ,上面各式当且仅当时同时取等号, 的最小值为 9. 对于函数成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫的下确界为 A． B．2 C． D．4 【解析】A 10.设函数定义域为D,如果对于任意存在唯一的使为常数)成 立,则称函数在D上的均值为.给出下列四个函数:①;②;③; ④则满足在其定义域上均值为2的所有函数是 A.①② B.③④ C.①③④ D.①③ 【解析】①满足题意,②不一定存在且不唯一,故不满足题意,③ 满足题意,④不一定存在,故不满足题意.故选