2014年中考数学压轴题精编--湖北篇(试题与答案).doc

2014年中考数学压轴题精编—湖北篇 1．（湖北省武汉市）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点，连结AC，BD交于点P． （1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值； （2）如图2，当OA＝OB，且＝时，求tan∠BPC的值； （3）如图3，当AD : AO : OB=1 : n :时，直接写出tan∠BPC的值． ABCO A B C O D P 图1 A B C O D P 图2 A C O D P 图3 B ABCDPOE1．解：（1）延长AC至点E，使 A B C D P O E ∵C为OB中点，∴△BCE≌△OCA ∴BE＝OA，?E＝?OAC ∴BE∥OA，∴△APD∽△EPB ∴＝ 又∵D为OA中点，OA＝OB，∴＝＝ ∴＝＝，∴＝2 3分 （2）延长AC至点H，使CH＝CA，连结BH ∵C为OB中点，∴△BCH≌△OCA DCOPHAB∴?CBH＝?O＝90 D C O P H A B 由＝，设AD＝t，OD＝3t，则BH＝OA＝OB＝4t 在Rt△BOD中，BD＝＝5t ∵OA∥BH，∴△HBP∽△ADP ∴＝＝＝4 ∴BP＝4PD＝BD＝4t，∴BH＝BP 6分 ∴tan?BPC＝tan?H＝＝＝ 7分 （3）tan?BPC＝ 10分 2．（湖北省武汉市）如图，抛物线y1＝ax 2－2ax＋b经过A（－1，0），C（0，）两点，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； OABxyPQMCOABxyPQMC备用图（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x＝m，x＝ O A B x y P Q M C O A B x y P Q M C 备用图 2．解：（1）∵抛物线y1＝ax 2－2ax＋b经过A（－1，0），C（0，）两点 OABxyPQMCN∴ eq \b\lc\{( eq \a\al\co1\vs4(a＋2a＋b＝0,b＝)) ∴ eq \b\lc\{( eq \a\al\co1\vs4(a＝－,b＝)) 2分 O A B x y P Q M C N ∴抛物线的解析式为y1＝－x 2＋x＋ 3分 （2）作MN?AB，垂足为N OGxyHEF由y1＝－x 2＋x＋易得M（1，2），N（1，0），A（－1，0），B（3 O G x y H E F ∴AB＝4，MN＝BN＝2，MB＝2，?MBN＝45? 根据勾股定理有BM 2－BN 2＝PM 2－PN 2 ∴(2)2－2 2＝PM 2－(1－x)2 ① 5分 又?MPQ＝45?＝?MBP，∴△MPQ∽△MBP ∴PM 2＝MQ·MB＝y2· ② 6分 由①②得y2＝x 2－x＋ ∵0≤x＜3，∴y2与x的函数关系式为y2＝x 2－x＋（0≤x＜3） 7分 （3）四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m＋n＝2（0≤m≤2，且m≠1） ∵点E、G是抛物线y1＝－x 2＋x＋分别与直线x＝m，x＝n的交点 ∴点E、G坐标为E（m，－m 2＋m＋），G（m，－n 2＋n＋） 同理，点F、H坐标为（m，m 2－m＋），H（n，n 2－n＋） ∴EF＝m 2－m＋－(－m 2＋m＋)＝m 2－2m＋1 9分 GH＝n 2－n＋－(－n 2＋n＋)＝n 2－2n＋1 10分 ∵四边形EFHG是平行四边形，∴EF＝GH ∴m 2－2m＋1＝n 2－2n＋1，∴(m＋n－2)(m－n)＝0 11分 由题意知m≠n，∴m＋n＝2（0≤m≤2，且m≠1） 因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m＋n＝2（0≤m≤2，且m≠1） 12分 3．（湖北省武汉市新洲区）如图，P为正方形ABCD的边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使GE＝AG，连接BE，CE． （1）求证：BE＝BC； （2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN＋DN＝AN； （3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，直接写出CE的长度． PA P A B C D G N E 3．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC ∵BG⊥AP，AG＝GE，∴AB＝BE ∴BE＝BC 3分 PABCDGNEH（2）过点 P A B C D G N E H ∵BN平分∠CBE，∴∠EBN＝∠CBN ∵AB＝BE，∴∠BEN＝∠BAP ∵BG⊥AP，∠ABP＝90°，∴∠BAP＝∠PBG ∴∠BEN＝∠PBG ∵∠BNG＝∠BEN＋∠EBN，∴∠BNG＝∠GBN