5.1 二元运算与其性质.ppt

代数结构;代数结构前言;并且发现:某些运算遵循的某些规律,如交换律,结合律,分配律等. ;;10.1 二元运算及其性质;什么是二元运算;二元运算的实例（续）;一元运算;二元与一元运算的表示;给出二元或一元运算有两种方法：解析式、 运算表 1 解析式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的如下二元运算 ?： ?x, y∈R, x ? y = x. 那么 3 ? 4 = 3 0.5 ? (-3) = 0.5 7 ? 2.5=? ;2 用运算表表示; °;运算表的实例 P183;例10.5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, p183 ?表示模5加法(x+y)mod5 ?表示模5乘法 (xy)mod5 ? 的运算表 ? 的运算表;课堂练习;二元运算的性质;交换律;结合律和幂等律 ;实例分析;分配律: 是对两个二元运算而言;(2) 如果° 和 ? 都可交换, 并且? x, y∈S 有 x ° (x ? y) = x x ? (x ° y) = x 则称 ° 和 ? 运算满足吸收律. 例:幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律 A∪(A∩B)=A A ∩(A ∪B)=A ;实例分析;如何判断二元运算的性质;法一:通过运算表;法２：用解析式验证;;课堂练习:P192 第5题: (1) (2) (9) 课后作业 第1题 (2) 第7题 (1)(2);习题解答;第7题;代数系统的几种特异元素;零元(zero);逆元 (inverse element); 唯一性定理: 1 对于给定的集合和二元运算,如果单位元和零元存在,则必是唯一的. 2 对于可结合的二元运算,元素x的逆元如果存在,该逆元是唯一的. 逆元的特点:逆元和单位元不同,逆元与集合中某个元素相关,不同元素对应不同的逆元. 例: (Q,+, ·)中,5的加法逆元是-5,乘法逆元是1/5. -2的加法逆元是2,乘法逆元是-1/2.;实例分析;惟一性定理;惟一性定理（续）;通过运算表求特异元素;逆元：a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆. 也就是说两个单位元关于主对角线对称,那么单位元对应的表头元素互为逆元; 如果单位元在对角线上,那对应的表头元素的逆元就是它自己. 如: x °y=y °x=e 则称 y 为 x 的逆元. ;加法逆元 0 0 1 4 2 3 3 2 4 1 ;例;练习:;通过解析式求特异元素;求逆元： 给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ° y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 ? (x ? = ?1/2) 因此当 x ? ?1/2时， 是 x 的逆元. ;练习:;消去律