专题提升(十二) 与圆切线有关证明与计算.ppt

专题提升（十二） 与圆的切线有关的证明与计算; 如图1，直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线交AB的延长线于点P.若⊙O的半径为1，那么PB的长为____．(浙教版九下P56作业题第1(2)题); 教材母题答图 所以在Rt△ACP中， ∠P＝180°－30°－30°－90°＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1. ;[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小； (2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小． 图2 ;解：(1)如图(1)，连结OC. 变形答图(1) ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l， ∴∠OCD＝90°. 由AD⊥l，得∠ADC＝90°， ∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ;∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC. 在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°. (2)如图(2)，连结BF. 变形答图(2) ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°， ;∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°. 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形， ∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝72°. 由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°. ;如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. (1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数； (3)若AB＝6，求 的长． 图3 ;解：(1)连结AE，∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BE＝CE. (2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC， 又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°. ∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°. (3)连结OD，∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ;∴∠BAC＝∠ODA＝54°， ∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°. ;已知：如图4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线．(浙教版九下P51例2) 图4 证明：略． 【思想方法】 证明圆的切线常用两个方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”． ;1．[2013·防城港]如图5，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC. (1)求证：AC是⊙O的切线； 图5 ;解：(1)连结OA，OD，则OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE， ∴∠ODA＋∠OFD＝90°， ∴∠OAD＋∠OFD＝90°. ∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°. ∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC， ∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． ;∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形OFD中，OD2＋OF2＝DF2， 解得r＝6或r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O的半径r＝6. ;2．[2013·德州]如图6，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； ;在Rt△ABD中，C为AD的中点， (2)连结OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD， ∴四边形BCDO是平行四边形． 又∵AD是⊙O的切线， ∴OD⊥AD. ∴四边形BCDO是矩形． ∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线． ;如图7，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作TC⊥AD交AD的延长线于点C. (1)求证：CT为⊙O的切线； 图7 ;解：(1)证明：如图，连结OT. ∵OA＝OT， ∴∠OAT＝∠OTA. 又∵AT平分∠BAD， ∴∠DAT＝∠OAT， ∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC. 又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT， ∴CT为⊙O的切线． (2)如图，过点O作OE⊥AD于点E， 则点E为AD中点． 又∵CT⊥AC，∴OE∥CT. ;中考预测答图 又∵OT∥AC，∴四??形OTCE为矩形． ∴在Rt△OAE中， ∴AD＝2AE＝2.