(自动控制原理)第三章.ppt

第五节 系统的稳定性和 代数稳定判据 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部 一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发 散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措 施，是自动控制理论的基本任务之一。 3.5.1 线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 稳定的充要条件和属性 一、线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 1、 稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下， 离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时 间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定 的系统 。否则为不稳定的系统。 2、线性系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。 稳定的充要条件和属性 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。 如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭纯虚根，它对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。 稳定区 不稳定区 临界稳定 S平面 充要条件说明 注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。 对于一阶系统， 只要 都大于零，系统是稳定的。 对于二阶系统， 只有 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负） 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。 充要条件说明 3.5.2 劳斯判据 这一判据是根据代数方程的各项系数，来确定方程具 有负实部根的数目，同时还可以指出方程的右半平面根的 个数的一种代数方法。 劳斯判据 劳斯判据 1、劳斯表 劳斯表的前两行由特征方程的 系数组成 第一行为1，3，5，…项系数组成， 第二行为2，4，6，…项系数组成。 劳斯表中各项的计算式为： 劳斯判据 依次类推。可求得　　　　　　　　这一计算过程一直进行到　行，且计算到每行其余的系数全部为零止。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２、劳斯判据的内容 （1）特征方程的根都位于S平面左半部的充分必要件： 劳斯表的第一列系数全部是正数。 （2）由劳斯表可得特征方程右半平面根的个数： 它等于劳斯表中第一列各元素符号改变的次数。 例3-4 系统的特征方程为： 请问结论是什么？ 劳斯表第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个根在s的右半平面。 补充例题 [1] 方法二： 方法一： 两种方法有什么不同？由此你得出什么结论？ 结论: 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性。 劳斯表第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个根在s的右半平面。 3、劳斯表的特殊情况 [例] 第一列劳斯表中某一行系数为零，而其余系数不全为零。 [处理办法]：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出劳斯表中的其它项。若 与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。 令 则 故第一列不全为正，系统不稳定；第一列各项的符号改变两次，s右半平面有两个根。 劳斯表中 上面一行的首列和 下面一行的首列符号相同，表明方程有一对纯虚根存在。 [例] 有特征方程： 显然： 即 劳斯表某行系数全为零的情况 表明 ： 特征方程具有大小相等，且位置对称于原点的根。 至少下述几种情况之一出现： 如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚