多边形重心的作法.ppt

多边形的重心;研究动机;研究目的;方法讨论─寻找重心的方法;〈分析〉不管是什么样的形状，这个方法都适用。因为不管是通过A点或B点的铅垂线，当此木板在悬吊并达到平衡(也就是不会晃动)时，铅垂线左右的重量必相同，才可达到平衡。而由A、B两点所做的两条铅垂线的交点，可使两组被铅垂线切成两块的木板都达到平衡。因此交点G便是此木板的重心─顶着它可以达到平衡的点。这是个较偏向理化做法的方式。 ;※方法二─三角形的重心 〈做法〉任两中线(连三角形任一边的中点至对顶点的线段)的交点，即为此三角形之重心。 〈分析〉一中线可以平分此三角形的面积(等底同高)，若此三角形是一张纸，厚度忽略不计，则中线也可平分重量。因此，两中线的交点便是重量的平衡点─重心。 p.s 课内教材，不再多说 ;※方法三─正多边形及圆形的重心 〈做法〉正多边形─取两条线对称轴的交点(奇数边形之对称轴为点与对边中点的连线；偶数边形的对称轴为点与对点的连线)，即为重心。圆形─圆心即为重心。 〈分析〉正多边形的线对称轴便是面积平分线，也就是质量平分线；圆形亦同。(同上);方法展示 ; 2.任意四边形(包括鸢形、梯形)： ;【分析一】重心，可视为此图形的质量中心(p.s重心又称为「质心」)，因此，在作第一条三角形重心连线时，我们可以确定此四边形的重心一定会在此线段上。利用同样的思考再换个方向做一次，则重心会同时在这两条重心在线，即为两重心线的交点。;《杠杆法》连一条对角线将其切成两个三角形，并分别画出它们的高及重心。连两重心线段，以高的反比平分此线段，则平分点即为重心。 【分析二】这用到了理化的杠杆原理：重量1X臂长1=重量2X臂长2。用对角线切出来的三角形，它们有同底的性质，所以面积比就会等于高的比；而面积比又会等于其质量比，因此，两个三角形的重心连线，就可以视为一个杠杆；而这个杠杆的两端─也就是两三角形的重心，就可以视为两三角形的质量中心。又两三角形的高的比等于面积比等于质量比，则若两三角形的高之比为a：b，则两个三角形的质量比也就是a：b。而重心是整个四边形的平衡点，就相当于杠杆上的支点一样。;所以，综合上面的比例，我们不难了解：两三角形重心的连线─也就是整支杠杆─，必须以b：a(a：b的反比)的比例来分，配合上两端质量a：b，才可以符合杠杆原理：重量1X臂长1=重量2X臂长2。;§任意五边形 《分割法》连一条对角线，将其切成一个四边形及一个三角形。分别用以上的方法找出重心后连线；再换另外一条对角线，再画出一条两重心连线，则此两线段的交点即是此五边形的重心。 【分析一】此想法与四边形类似，只是边数增加，画起图来比较复杂。 ;﹝例一﹞在图三的五边形ACBDE中：1.连EC，得?EDC及四边形ABEC2.分别作?EDC及四边形ABEC的重心g1、g23.同理，连AD做?AED及四边形ABCD的重心g3、g44.连g1g2、g3g4，则两线段交点即为五边形ACBDE的重心G ;《杠杆法》连一条对角线，将此五边形切成一个三角形与一个四边形，分别找出重心并做一重心线。利用四边形做法二的想法，将四边形转化为一个同底(底即为对角线)且面积相同的三角形，再用此两三角形的高的反比去分重心线，则分点即为重心。 【分析二】这种做法利用到四边形形变成等底等面积三角形，而简化了原题。因为在同底的情况下，只有三角形的高的比可以利用标尺作图在重心在线直接画出反比例，四边形主要是由于它不能以某一线段比上另一三角形的高代替质量、体积比例，因而需采取这个较间接方式。不过，需注意的是刚开始所做的重心线乃五边形一对角线所切成的一三角形与一四边形之重心线，而不是四边形形变成三角形后与原三角形的重心线。 ;﹝例二﹞在下图四的五边形ABCDE中：1.连AC，分别作?ABC及四边形CDEA的重心g1、g2，并连重心线g1g2 2.连EC并延长射线AE，做一直线过D平行于EC，交射线AE于F。∵等底(EC=EC)同高(两平行线中垂距相等)，∴?ECF的面积同于?ECD3.做FI⊥AC，BJ⊥AC4.连线段g1g2，在g1g2上运用「平行线裁等比例线段」的性质 (可将五边形ABCDE视为四边形ABCF，但重心线仍以五边形ABCDE为主) ─取g2J’=BJ，J’I’=FI，连g1I’再过J’做一直线平行于g1I’交g1g2于G，则g2G：Gg1=BJ：IF，画出G点即为五边形ABCDE的重心 ;§任意六边形 《分割法》连一对角线，将其切成两个四边形，分别用四边形的重心找法找出重心并连线；再连另外一条对角线，再画出一条两四边形的重心的连线，则此两重心连线之交点即为此六边形的重心。 【分析一】此方法的想法与四边形、五边形均同。找出两重心线的交点即为重心。 ;﹝例一﹞在下图五的六边形ABCDEF中：1