计算方法试题与答案.doc

计算方法2007-2008学年第一学期试题 1 填空（15分） 1） 设近似数，都是四舍五入得到的，则相对误差 ______ 2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于轴的直线方程为_ ____. 3) 近似数关于真值有_ _为有效数字. 4） 插值型求积公式至少有______次代数精确度. 5) Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度. 2. （10分）已知曲线 与在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值，当误差小于时停止迭代。 3．（10分）用最小二乘法确定中的常数和，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后4位) 4.(10分) 用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特征向量。要求取初始向量，且。 5．（10分）设有方程组 写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式； Jacobi方法的迭代矩阵为： 当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。 6．（10分）已知四阶连续可导函数的如下数据： 1 2 0 5 1 10 试求满足插值条件的三次插值多项式，并写出截断误差的导数型表达式（不必证明）。 7．（15分）设有积分 1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）； 2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。 8．（10分） 给定初值问题 写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式； 取步长，求的近似值。 9．（10分） 用迭代法的思想证明： （等号左边有k个2）。 2008 －2009 学年第2学期试题 1．（每小题3分，共15分）填空 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为________次； 为提高数值计算精度，当正数 充分小时，应将改写为 ____________________； （3） 拟合三点 A（0 ，1） ， B（1 ，3） ， C（2 ，2）的平行于轴的直线 方程为_______________； （4）求积公式有______次代数精确度； （5）求方程的根的Newton迭代格式是____________________。 2．（15分）曲线在点附近与轴相切于点， 试用Newton迭代法求的近似值，使。 3．（10分）求一经过原点的抛物线，使其按最小二乘原理拟合于如下数据 1 2 3 4 0.8 1.5 1.8 2.0 并求平方逼近误差.（运算结果小数点后至少保留4位） 解：（1）矛盾方程组为： （2）正规方程组为： （3）所求抛物线为： （4）平方逼近误差： 4．（10分）用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值的第次近似值及相应的特征向量。要求取初始向量，且 。 解：乘幂法的计算格式为： 计算过程列表如下： 所以：= ， 5（10分）试用三角分解求解线性方程组 （1）将系数矩阵进行三角分解： （2）用三角分解法求该方程组的解： 6．（10分）已知四阶连续可导函数的如下数据： 0 1 0 1 0 1 试求满足插值条件 的三次插值多项式，并写出截断误差 的导数型表达式(不必证明)。 7．（15分）若用复化Simpson公式求积分的近似值，为使该近似值有4位 有效数字，问至少应知道多少个结点的值？并由此求的近似值. （小数点后至少取4位）. 解:（1）复化Simpson公式的截断误差为: （2）计算所需要的节点数目： （3）按（2）中的节点数计算。 8．（10分）给定初值问题 （1）写出欧拉(Euler)预估- 校正法的计算格式。 （2）取步长=0.1，求的近似值（小数点后至少保留4位）。 9．（5分）设在有二阶连续导数，试建立如下数值积分公式 并证明有余项表达式. 07/08第一学期试题参考答案： 1: (1)6.78×10－5, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3 2. 切线斜率相等：， 牛顿迭代格式： 取，得 3. 矛盾方程组： 正则方程组： 4. 取初始向量，用乘幂法公式进行计算，且取，得 ， 5.(1)迭代格式为 (2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为 (3) 谱半径.由得 此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛. 6. 7．20.2174 8．（1）Euler预-校法的计算格式为 （2）将 代入，则 代入得 ， 9