4.2节定积分与不定积分.ppt

内容小结 * §4.2 定积分与不定积分 4.2.1微积分第一基本定理 1、积分上限函数（变上限积分） 定理4.2.1 (微积分学基本定理) 证: 从而得 说明： (1) 此定理证明了连续函数的原函数是存在的， (2) 同时也为通过原函数计算定积分开辟了道路. 变限积分求导： 例4.2.1 求 解: 例4.2.2 求 解 例4.2.3 求 解： 由洛必达法则得 例4.2.4 求 解： 4.2.2 原函数与不定积分 1.原函数的概念 定义4.2.1 或 原函数. 例如， 且其中任意两个函数相差一个常数， 因为 有无穷多个原函数. 这一点具有普遍性,对其它函数也适用. 定理4.2.2 ，其中C为任意常数. （证明略）见链接 被积函数， 被积表达式， 积分变量， 积分常数。 定义4.2.2 例4.2.6 解: 例4.2.7 解: 积分曲线 例4.2.8 解: 证明： 解： 例4.2.9 解： 例4.2.10 则有 1. 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 1667年牛顿当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年继巴罗任卢卡斯教授，时年26岁，一直到1701年。1693年底，长期紧张的科学研究使牛顿患了严重的抑郁症，病虽经治愈，但他从此结束了剑桥宁静的学者生活。 牛顿（1642年—1727年），伟大的英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1661年6月牛顿进入剑桥大学三一学院，在校受教于巴罗，开始钻研伽利略、开普勒、笛卡尔等人的科学著作，他们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿的领域——解析几何与微积分。 牛顿谦逊地将自己的科学发现归功于前人的启迪，曾有这样的名言 “如果我比别人看得更远，那只是因为我站在了巨人的肩上。” 1696年，牛顿任皇家造币厂监督，1703年任皇家学会会长，1705年被女王安娜封爵，达到了他一生荣誉之巅。他晚年潜心于自然哲学与神学。莱布尼茲对牛顿的杰出贡献作过这样的评价:“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中,牛顿的工作超过一半.”