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§4—4 滞后系统的根轨迹 在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象 滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，对系统的稳定性会带来不利的影响。 系统闭环传递函数 特征方程 这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。 滞后系统根轨迹幅值相位条件 幅值条件 相角条件 绘制滞后系统根轨迹的基本规则 （3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。 （4）、根轨迹的渐近线： （1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴 （2）、根轨迹的起点和终点 起点 终点 根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴 根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为 （5）、根轨迹的分离点： （6）、根轨迹的出射角和入射角： （7）、根轨迹与虚轴的交点： 例：设滞后系统的开环传递函数为 要求绘制此系统的根轨迹图。 解： 系统特征方程为 绘制根轨迹的相角条件为 （1）根轨迹的起点和终点 起点 p1=-1 , σ=-∞ 终点 趋于无穷远 （2）实轴上的根轨迹 （-∞，-1] （3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于 （4）令k=0画出主根轨迹 k=0 的根轨迹，称为主根轨迹 k=1、2、… 的根轨迹，称为辅助根轨迹 作图方法 系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响,如果系统的开环增益较大,即使原来为一阶的系统也可能变为不稳定系统。 说明： 1、以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似。 2、当开环增益较大时，近似方法误差很大。 §4—5 利用根轨迹分析系统的性能 系统性能 系统的开环零、极点位置 根轨迹 闭环极点位置 一、暂态响应性能分析 设系统有一对共轭复数极点，此外还有若干实数零点和极点，系统为0型系统，闭环传递函数为。 当Sk 为实数极点时 q为sk右面零、极点数目之和 设S1、S2 为共轭复数极点主导极点 具有一对共轭复数极点的零型系统的单位阶跃响应为 超调量和调整时间近似估算公式 系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系： （1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。 （2）如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略不计。 （3）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率 并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主导极点的实部 （4）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。 （5）除其它闭环极点外的其它极点的存在会增大系统的阻尼比，使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加。 二、附加开环零点对根轨迹的影响 渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加 根轨迹向左方向弯曲 渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移 提高了系统的相对稳定性 例：一个系统的开环传递函数为 分析附加一个零点S+Z时系统根轨迹的变化 在控制系统设计中有时为改善系统的性能而增设零点，由此给根轨迹带来明显的改变。 附加一个零点相当于增加一个比例微分环节，在实际中，能够得到的比例微分作用的环节是比例环节与惯性环节串联而成的复合环节。 只要选取P5Z，可以产生类似附加单纯零点的作用。 增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用 零极点对应的矢量幅角 附加提供一个超前角 开环传递函数上附加极点 降低了系统的相对稳定性 渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小 根轨迹向右方向弯曲 渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点 。 向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧 三、附加极点对根轨迹的影响 增加开环极点的影响 右移极点 增加一个极点的情况 四、开环偶极子 开环偶极子距离原点较远 幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消； 对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响，基本上不影响系统静动态性能。 开环偶极子位于原点附近 幅角条件和幅值条件中作用也基本抵消。 零极点自身比值zc /pc- 较大 ?影响系统的开环增益、改变稳态误差。 提高系统开环增益10倍 五、稳态性能分析 根与系数关系 如果系统的闭环极点位置已经确定，适当配置零点，可以对系统的稳态误差产生积极的影响。实际上附加开环零点后，除了改变了闭环极点在S平面的分布，而且也使闭环传递函数增