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第五章 插值法 （上） 第五章目录 插值法概述 插值法概述(续1） 插值法概述（续2） 代数插值 代数插值（续1） 代数插值（续2） 代数插值（续3） 代数插值应用举例 代数插值应用举例（续） §1 拉格朗日（Lagrange）插值 插值多项式的存在性和唯一性（续） 关于唯一性证明的几点说明 1.2 插值多项式的误差估计 插值多项式的误差估计（续） 插值多项式的误差估计（续） 插值余项定理 插值余项定理（续） 1.3 Lagrange插值多项式 Lagrange插值多项式（续1） Lagrange插值多项式（续2） 插值基函数 插值基函数（n =2）（续1） 插值基函数（续2） 插值基函数（续3） Lagrange插值多项式 Lagrange插值多项式（续） 插值举例 例1(续） 插值举例（续） §2 牛顿（Newton）插值 牛顿（Newton）插值（续1） 牛顿（Newton）插值（续2） 2.1 差商 差商计算 差商的性质 差商的性质（续） 差商表的计算 2.2 Newton插值公式 Newton插值多项式及其余项 由于f(x) 未知，因此事实上无法估计误差,但由于： Newton插值多项式及其余项（续） Newton插值多项式的计算 Newton插值公式计算举例 Newton插值公式计算例3续 2.3 差分 定义5.2（续） 差分的其它种类 差分计算——造表 差分计算——造表（续1） 差分计算——造表（续2） 差分计算举例 差分的性质 差分的性质（续1） 差分的性质（续2） 2.4 等距节点插值公式 Newton向前插值公式 Newton向后插值公式 表5-7 Newton向前、向后插值公式 举例 Newton向前、向后插值公式 举例（续1） Newton向前、向后插值公式 举例（续2） Newton向前、向后插值公式 举例（续3） 第五章 结（上）束 Lagrange插值多项式是从直线的对称式出发，利用插 值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点 斜式（5-6）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计 算简单的插值公式呢？ 这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况如果能推广到n次多项式Nn(x)，则Nn(x)可写作为： 上述插值多项式的系数a0,a1,…,an如何求，是否有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件： 定义5.1 类似于高阶导数的定义，称 一阶差商的差商: 为f (x)关于点xi,xj,xk的二阶差商，记为f [xi,xj,xk]。 称为f (x)关于点x0,x1,…,xk的k阶差商。 一般地： （1）各阶差商均具有线性性质，即若f (x)=a? (x)+b? (x)， 则对任意常数k，都有： （2）k阶差商f [x0,x1,…,xk]可表成f (x0),f (x1)…,f(xk)的线性组合： （3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置， 差商值不变，如: （4）若f (x)是n次多项式，则一阶差商f [x,xi]是n ? 1次多项式。 事实上，如果f (x)是n次多项式，则p (x) = f (x) ? f (xi) 也是n次多项式，且p (xi) = 0, xi为其零点?p (x)可分解为 p (x) = (x?xi) pn?1 (x) ， 其中pn?1 (x)为n ?1次多项式，所以： 为n ?1次多项式。 计算各阶差商，可以按照下表进行： 表5-1 xi f (xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 … x0 f (x0) ? ? ? ? ? x1 f (x1) f [x0,x1] ? ? ? ? x2 f (x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2] ? ? ? x3 f (x3) f [x2,x3] f [x1,x2,x3] f [x0,x1,x2,x3] ? ? x4 f (x4) f [x3,x4] f [x2,x3,x4] f [x1,x2,x3,x4] f [x0,x1,x2,x3,x4] ? x5 f (x5) f [x4,x5] f [x3,x4,x5] f [x2,x3,x4,x5] f [x1,x2,x3,x4,x5] ? 由各阶差商的定义，依次可得: 记： （紧接下屏） 显然，Nn(x)是至多n次的多项式。而由： 即得f (xi)= Nn(xi) (i=0,1…,n)。这表明Nn(x)满足插值条件（5-2），因而它是f (x)的n次插值多项式。这种形式