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第二章 控制系统的数学模型 例2-11 试简化图2-18的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s). 图2-18 例 2-11 系统结构图 - _ _ - _ _ _ _ _ 图2-19 例 2-11 系统结构图的简化 例2-12 试简化图2-20的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s). 图2-20 例 2-12 系统结构图 解 在图中由于G1(s)与G2(s)之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，但也不可简单地互换其位置。最简便方法是按规则(5)和规则(8)分别将比较点前移,引出点后移；然后进一步简化直至求得系统传递函数。 3 信号流图的组成及性质 该图起源于用图示法描述线性方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点代表方程式中的变量，以小圆圈表示；支路是连接两节点的定向线段，相当于乘法器。 信号流图的基本性质 (1) 节点标志系统的变量。自左向有顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。 (2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时被乘以支路增益。 (3) 信号在支路上只能沿箭头单向传递,且信号流图不惟一。 源节点(输入节点) 在该点上只有信号输出支路，没有信号输入支路，一般代表系统的输入量。 名词术语 阱节点(输出节点)该点上只有输入支路而没有输出支路，代表输出量。 混合节点 在该点上既有输入支路又有输出支路。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为阱节点. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为 设 r(t) 和 c(t) 及其各阶导数在 t=0 时的值均为零,即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换,令C(s)=L[c(t)], R(s)=L[r(t)]可得 s 的代数方程为 式中 于是,由定义得系统的传递函数为 (2-17) ui(t) uo(t) C R L i(t) 例2-8 试求例2-1 RLC无源网络的传递函数 解: 该网络微分方程已求出,如式(2-1) 在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令Uo(s)=L[uo(t)], Ui(s)=L[ui(t)]得 (2-18) 由传递函数定义得网络传递函数为 (2-19) ⑵ 性质 ① 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数,具有复变函数的所有性质. 有m≤n且所有系数均为实数. ② 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息.因此,可以用图2-5的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统. 图2-5 传递函数的图示 G(s) R(s) C(s) ③ 传递函数与微分方程有相通性.在零初始条件下，若将微分方程的算符d/dt 用复数 s 置换便得到传递函数;反之亦可. ④ 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应 g(t) . 脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲 输入时的输出响应,此时, 传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条件有两方面的含义:一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制系统多属此类情况. ⑶ 物理意义 例2-9 试求例2-2电枢控制直流电机的传递函数 解: 在例2-2中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程为 (2-20) 根据线性系统叠加原理,可分别求出ua(t)到?m(t)和Mc(t)到?m(t)的传递函数.先求 ,为此令Mc(t)=0 , 则有 在零初始条件下,对上式各项求拉氏变换,则得 (2-21) 由传递函数定义,于是有 (2-22) 同理,令 ua(t)=0 ,可求得 (2-23) 式中, ---------称为传递函数的零点; -------称为传递函数的极点. 2 传递函数的零点和极点 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,可写为如下形式 (2-24) 传递函数的零点和极点可以是实数,也可是复数,系数K*=b0/a0称为传递系数或根轨迹增益.这种用零点和极点表示传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多. 在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函数的零极点分布图.在图中