(徐彦辉)第九讲数学高考应用问题的研究.ppt

第4讲 应用问题的题型与方法 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的数学问题，并能用数学语言加以表述. 考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力. 由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题. “考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际. 应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解. 求解应用题的一般步骤是（四步法）： （1）读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； （2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； （3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； （4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证. 在近几年高考中，经常涉及的数学模型有：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等. Ⅰ函数模型： 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. ⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型； ⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型. Ⅱ几何模型： 涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.Ⅲ数列模型： 诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律. 例1（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （粮食单产＝ ；人均粮食产量＝ ） 分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策. 解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝ ，主要关系是：P ≥P . 2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为 ，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01) ，耕地面积为（10－10x）. ∴ ≥ （1＋0.1） 即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01） 3求解： x≤10－ ×10 ×（1＋0.01） ∵（1＋0.01）＝1＋C ×0.01＋ C ×0.01 ＋C ×0.01 ＋…≈1.1046 ∴ x≤10 －995.9≈4（公顷） 4评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略） 另解：1读题：粮食总产量＝单产×耕地面积；粮食总占有量＝人均占有量×总人