0106超静定问题.ppt

减少温度应力的方法 桥梁或者地面伸缩缝 §6-3 扭转超静定问题 例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。 (a) 解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程 故为一次超静定问题。 (a) MA MB 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为 注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。 另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为 3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程： 由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为 4. 杆的AC段横截面上的扭矩为 从而有 (a) 例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。 (a) 解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。 Ta Tb (b) 2. 位移相容条件为 3. 利用物理关系得补充方程为 4. 联立求解补充方程和平衡方程得： Ta Tb (b) 5. 铜杆横截面上任意点的切应力为 钢管横截面上任意点的切应力为 §6-4 简单超静定梁 Ⅰ.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的静定基为A端固定的悬臂梁。 静定基 静定基在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。 若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为 从而解得“多余”未知力 所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为 该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。 思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？ 2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？ 例题6-7 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。 解: 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。 2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。 3. 物理关系(参见图c,d)为 需要注意，因DlDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。 4. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程： 由此求得 例10 求图示结构中拉杆BC 的轴力。 B C A EA q a EI l B A EI q FN 解： 去掉BC 杆，带之以轴力FN。 * * * * * * * * 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 * 第六章 简单的超静定问题 §6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁 §6-1 超静定问题及其解法 Ⅰ. 关于超静定问题的概述 (a) (b) 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程── 一次超静定问题。 (a) (b) 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程── 一次超静定问题。 超静定问题：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。 FA FB l (a) FAx A B q (b) l/2 l/2 C FC FAx A B q FB FA 静力平衡方程（1） 变形协调方程（2） 物理关系方程（3） 补充方程 联立求解 Ⅱ.超静定问题的解法 静定基 A B l 补充方程为 于是可求出多余未知力FC。 位移相容条件ΔCq+ΔCFC=0