华中科技大学 计算方法课件第5讲 线性方程-误差分析.pdf

5.5 误差分析 5.5.1 向量和矩阵的范数 向量范数概念是三维欧氏空间中向量长度概念的推广， 在数值分析中起着重要作用。 T T 定义1 设 x (x ,x , ,x ) , y (y , y , , y ) ∈R n 1 2 n 1 2 n n ( , ) T 将实数 x y y x ∑x y i i i 1 称为向量x , y 的数量积。 1 将非负实数  1 1  n 2 2 x 2 (x , x) 2 ∑xi  i 1  或 1 1  n 2 2 x 2 (x , x) 2 ∑xi  i 1  称为向量 的欧氏范数 。 x 2 n 向量的欧式范数可以看成是对 中向量“大小”的一 R 种度量。 也可以用其他办法来度量向量的 “大小”。 T 2 例如，对于x (x ,x ) ∈R , 可以用一个 的函数 1 2 x N (x) max x x i 来度量 的 “大小”，而且这种度量 “大 i 1,2 小”的方法计算起来比欧氏范数方便。 一般要求度量向量 “大小”的函数N (x)满足正定性、 齐次性和三角不等式。 3 n n 定义2 (向量的范数) 如果向量 x ∈R (或 )的某 C 个实值函数N (x) x ，满足条件： 1. x ≥0 ( x 0 当且仅当x 0 )