酉空间及Householder变换.ppt

矩阵分析与计算 参考书目： 矩阵计算的理论与方法，徐树方. 矩阵分析，horn.R.A和Johnson.C.R等. 矩阵论，方保镕等. 矩阵计算与应用，胡茂林. 矩阵论，程云鹏. 矩阵理论与方法，魏洪增. 酉空间与Householder 变换 1. 2酉空间的有关概念 1. 3 欧氏空间与酉空间的比较 欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方（见下表） 2.Householder矩阵 定义2 设 为单位向量，则称矩阵 为Householder矩阵，或称为Householder变换，记作H，即 2.2 Householder矩阵的性质 Householder矩阵H是酉矩阵. 即 证明略. (2)若H是 Householder矩阵，则 . 证明略. (3) Householder矩阵仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n-1重的，-1是单重的.而且w是属于特征值-1的单位特征向量. 【证明1】Householder矩阵的特征多项式为 所以，1是矩阵的n-1重特征值；-1是矩阵的单特征值. 又因为 ,故w是属于特征值-1的单位特征向量. 思考题： 若A是m×n复矩阵，是否可用一系列Householder变换可将A化为行阶梯形矩阵？或者说，是否存在酉矩阵Q，使QA为行阶梯形矩阵？ 是实数.则必定 取 (4)设 ，且 ， ， ,使 【证明】 由 是实数知， ，令 则 故命题成立. 存在Householder矩阵 (5) 设 ，且 ，则存在常数 及Householder矩阵 ,使 【证明】 若 是实数，取 ，或 .并选择正负号，使 ，此时 且 由性质(4)有Householder矩阵 ，使 . 若 是虚数，则 ，取 ，或 故 并选择正负号，使 由性质(4)有Householder矩阵 ，使 . (6)设 是n阶Householder矩阵，则 ， ， 均为Householder矩阵. 【证明】 设 ，其中 即 为单位向量.则 因为 ，所以 是Householder矩阵. 其它两个矩阵可以类似的证明. 问题：若H与S均为Householder矩阵， 是否为Householder矩阵？ 请同学们思考！ 问矩阵 例4 设 求Householder矩阵 及实数 使 . 使 例5 设 ， .求Householder矩阵 且 . * 1. 1酉空间的定义 定理3 正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交. 证明留作习题 2.1定义 注意 在以上证明中使用了行列式的性质：若 是 矩阵， 是 矩阵，且 则 ， 【证明2】将单位向量 所以， 是n-1重的，-1是单重的.而且w是属于特征值 -1的单位特征向量. 扩充成酉空间 的一组标准正交基， ，则 从而 ， 酉相似于对角矩阵diag 仅有两个不同特征值-1和1，其中1 ， 即 *