数学建模题目与答案.doc

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 为A、B离地距离之和，为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（1），,均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故=0必成立（）。不妨设,g（若也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知,均为的连续函数，,且对任意有，求证存在某一，使。 证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故，。作，显然，也是的连续函数，而，由连续函数的取零值定理，存在，，使得，即。又由于，故必有，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10； x/10=235/1000； y/10=333/1000； z/10=432/1000； ，x,y,z为正整数； 解得：x=3 y=3 z=4 3.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每 天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15分） 解：设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。 每头猪投入：5t元 产出：（8-0.1t）（80+2t）元 利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640 =-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4 当t=32或t=33时，Zmax=851.25(元) 因此，应该在第32天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。 4. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？（15分） 解：设：每天生产将x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z元。 加工每桶牛奶的信息表: 产品 A1 A2 所需时间 12小时 8小时 产量 3公斤 4公斤 获利/公斤 24元 16元 x+y=50 Z=24*3x + 16*4y=72x+64y 解得， 当 x=20，y=30时， Zmax=3360元 则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2。 （2）设：纯利润为W元。 W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)0 则，牛奶33元/桶 可以买。 (3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为： W=39x+31y 解得，当x=0，y=60时 ， Wmax=1860元 则最多购买60桶牛奶。 (4) 若将全部的利润用来支付工人工资，