第二章 Hex-六角棋AI初步设计(算法复杂度分析).pdf

rongxiaosong@ Hex 游戏AI 的初步设计 摘要 Hex 游戏是一种在以六边形为单元格的棋盘上进行的对弈游戏。与其他对弈 一样，Hex 游戏蕴含着丰富的数学知识和博弈技巧，吸引了许多博弈爱好者的关 注。Hex 游戏存在先手必胜策略，然而寻找必胜策略被证明是 NP 难的问题。本 文介绍了Hex 游戏的基本规则和特性，给出Hex 游戏AI 的初步设计，重点介绍 极小极大有哪些信誉好的足球投注网站和alpha-beta 剪枝策略。最后将Hex 棋抽象为网络流模型，提出基 于最大流算法的估值函数，并对估值算法的时间复杂度进行分析。 关键字：Hex 游戏，AI，极小极大，alpha-beta 剪枝，网络流 一、 Hex 游戏 1.1 Hex 游戏规则 Hex 游戏（或Hex 棋、Hex 博弈）是一种以正六边形为单元格的棋盘类游戏。 Hex 棋由丹麦数学家Piet Hein 于1942 年发明；1948 年，该游戏又被美国数学 家John Nash 重新独立发明，曾一度被称为 “Nash Game”。Hex 棋的棋盘可以有 不同大小，一般采用 11 阶，即共有11*11 个六边形单元格，每个单元格最多与 6 个其他单元格相邻。一个8*8 Hex 棋盘如图1 所示： 图 1 棋子一般采用黑色和白色，对弈双方各执一种颜色的棋子。棋盘的四个边界， rongxiaosong@ 每组对边由一种颜色标识，属于对弈的一方。在上图中，黑白双方对弈，黑方执 黑子，拥有黑色的一对边界；白方执白子，拥有白色的一对边界。Hex 游戏的对 弈规则是：双方轮流下子，可以将自己的棋子下到棋盘中任意空闲的格子里，同 种颜色的棋子相邻即认为它们相互连接。任意一方将自己的两条边界用自己的棋 子连接起来，该方则获胜，游戏结束。我们把将一对边界连接起来的相同颜色棋 子所组成的路径成为“获胜链”。一般由黑方先下子。 1.2 先手必胜 Hex 棋的一个有趣的特点是，其对弈结果永远不会出现平局。也就是说，在 极端情况下，棋盘中的每个格子都被某种颜色的棋子所占据，那么一定能找到一 [1] 条获胜链。David Gale 于1979 年通过Brouwer 不动点理论加以证明 。 Jhon Nash[2] 证明了Hex 游戏中先手必胜： 1，Hex 棋不会出现平局，一定存在先手或后手的获胜策略。 2，假设后手有获胜策略。 3，先手可以采用如下对策来取胜： a) 第一步在任意位置下子； b) 接下来先手采用“2”中提到的后手的获胜策略下子，相当于先 后手对换； c) 因为第一步所下的子不会成为先手的劣势（如果先手下一步要下 子的位置刚好被第一步的棋子占据，随便在一个空闲位置下子即可），所 以先手将获胜。 4，结果与后手获胜的假设矛盾，所以存在先手的必胜策略。 虽然可以证明Hex 棋存在先手必胜策略，但除了有限几个低阶的Hex 棋盘， 至今没人给出通用的获胜策略。例如，11*11 的Hex 游戏还没有找到必胜策略。 1.3 蛮力算法时间复杂度 对于一个n*n 的Hex 棋盘，共有2个单元格，将每个单元格依次标号为1， 2，„，2 。采用蛮力方法寻找必胜策略，即穷举每种可能的玩法。每盘棋的下 棋方法可以用一列数字表示，如[1, 2, 3, „]表示前三部分别占据了第 1、2、 rongxiaosong@ 3 个单元格。那么，一共可能出现2 !种可能的数列，即[1, 2, 3, „, 2 − 1, 2 ]，[1, 2, 3, „, 2 , 2 − 1]，„，[2 , 2 − 1, „