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51 学时固体物理模拟试题3 答案与评分标准 一、问答题（每小题5 分，共20 分） 1. （5 分）何谓玻恩-卡曼边界条件？它有什么作用？ 答：以一维原子链为例, 除了两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个 原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程 组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程不同, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难。为克服 这种困难，玻恩—卡曼提出用包含 N 个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限 数目的原子，然而保持所有原胞完全等价。这相当于一个周期性边界条件 2 iNaq ， 为整数 un unN e 1q h h Na 对三维情况有 l l l iqN a iqN a iqN a 1 2 3 e 1 1 e 2 2 e 3 3 1q b  b  b ，l ,l ,l 为整数 （3 分） 1 2 3 1 2 3 N N N 1 2 3 玻恩-卡门边界条件是一个近似条件。不过，通过晶格振动谱及晶体能带的实验测定表 明，实验与理论相符得很好，说明玻恩卡门周期性边界条件是一个很好的边界条件。 玻恩-卡曼边界条件是晶格振动理论与晶体能带理论中的基本边界条件。其中心思想是 既考虑到实际晶体的有限大小，又忽略表面粒子自于内部粒子的差别，使晶体成为“有限的 完整”晶体，从而以协调“有限” 与“无限”的矛盾，使问题可解。 （2 分） 2. （5 分） 举例说明，为什么在满足相同宏观对称性的条件下布拉伐点阵中没有“边心点 阵”？ 答：一个晶系的加心点阵，既要满足该晶系的宏观对称性，又要保证“加心”后所有“点子” 在该点阵中处于等价的地位。“边心点阵”中的点子之间地位不再等价，不是布拉伐点阵。 （3 分） 以立方晶系为例，如果在简单点阵的边上加心，将有三组不等价的“边心”，这些边心点子 与原简单点阵的点子也不等价。因此，加“边心”后的点阵不再是布拉伐点阵。 （2 分） 3. （5 分）何谓等能面？何谓费米面？比较两个概念的异同。 答： 等能面是k 空间（粒子状态空间）能量相等的k 值构成的曲面；费米面是晶体中电子 状态的k 空间中占有电子与不占有电子区域的分界面。 （3 分） k 空间可以作出一系列的等能面，描述三维能带（能量函数）结构。而费米面是粒子由 低能态到高能态填充的k 空间中占有电子与不占有电子区域的特定分界面（或曲面）的集合。 2 2 k 对自由电子气，费米面即系统基态电子填充的最大能量E h k / 2m 的球面，半径为 。 F F F