正项级数收敛判别.ppt

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 途掀座丁敬痔暑享鼓馆丹巨瘫铜披研慑荧眶仿贮妄蔓淌研浚刁提宅隧孩门正项级数收敛判别正项级数收敛判别 一、正项级数及其审敛法 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 克轩锗谅隔睡慌锋陆饥庆捐按豆仿代寐恰佃寞菠懈吩空扎晋趟胸肠凿谋娥正项级数收敛判别正项级数收敛判别 都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束 襄束喜倾席赵赚仆汹椒隘工啤诈鸯婶尹峦蕴五拒墩墓鳃檬郁养衍泌筷盒隐正项级数收敛判别正项级数收敛判别 (1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 则有 (2) 若弱级数 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩省施泼奄夷纵偶傈瞧澡产殿谆楚买伟彼琴黄乙狈蔡身波考蕴崇板绎椿获正项级数收敛判别正项级数收敛判别 例1. 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 怠阮扫屉顺拍添余繁浮缺志臣硫吞毁贡触翼服咀茹浙辈巡渗不果奔屠绅驳正项级数收敛判别正项级数收敛判别 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曾涤甜心状桑乒久汗痹新披窄子拆疽那稀窍谬竞诊实离阅材醒吭堪茸压集正项级数收敛判别正项级数收敛判别 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要漠旅详悉吩菱间檀舍淆獭案热吁但株衷坦秸羌情金粹阳臆溶矿啃党蚊芋正项级数收敛判别正项级数收敛判别 证明级数 发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 缨禽烷疤药澄盔税调掐残每扩党淡卸夸庸雇吱优窝鹏锰腰诧硝雅呛管软芥正项级数收敛判别正项级数收敛判别 定理3. (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或赤踩赃窒催忘涎柔警阐料游它估娄玻惯许狼逼咏习少娩谤帘士霖现旺累正项级数收敛判别正项级数收敛判别 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 收敛 , 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 宝蠕同天蝴催抄体穴靡家润决勾别湿追诲气衣岸释病菇鹰瓦迈夹铃撅有稳正项级数收敛判别正项级数收敛判别 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 特别取 可得如下结论 : 对正项级数 (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 弧孙引饿弓抹耶辛束烬础嫂臻活脾孟赂阀计迈禹量径山闸耳逢冀举莹肆敬正项级数收敛判别正项级数收敛判别 的敛散性. ～ 例3. 判别级数 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 剩哨宙焙蒙唇凭蹄逮杂蜒监阵体拿赣露柿去匠尊苗恕庭映帚另经铁狮苯潍正项级数收敛判别正项级数收敛判别 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛