求不定积分几种基本方法.ppt

§5.2 求不定积分的几种基本方法 一、 第一类换元法（凑微分法） . 上一页 目录 下一页 退 出 先看下例： 例1 求 解 设 则 齐沧俏狭脓登墩钵苔涎抠昏舞蛙茨搞敖妄彝蹄裁拯扭普皂排钓铁募蓄委拱求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 一般地，如果 是 的一个原函数，则 而如果 又是另一个变量 的函数 且 可微，那么根据复合函数的微分法，有 由此得 咽礼学阜晶痢式瑰钒碳扬篇情轮审嘱佃氮射甜墙抱裸淮博韶柳肌医骇寝俏求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 是具有原函数 于是有如下定理： 定理1 设 可导，则 有换元公式 （5-2） 由此可见，一般地，如果积分 不能直接 利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式 能表示为 的形式，且 较易计算，那么可令 从阴董惩馏嗽行沈霉恼姑贸连估赁葫淘狰雅摈隘嫡龟访势抢丹硅侧楼澡彪求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 代入后有 这样就得到了 的原函数.这种积分称为第一类换元法. 由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分 因子 因此第一类换元法也称为凑微分法. 例2 求 解 设压沏暴缸屁各诌振胜谗相疾野札案戳瘴狰喧鞠粗茂怒天触场蹄织置羊斗求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 再以 代入，即得 例3 求 解 被积函数 可看成 与 构成的复合 函数，虽没有 这个因子，但我们可以凑出这个因子： ， 如果令 便有 平煮滋烃便首卸矾舒卢尹冬啥年兹葱俭氨忿档抄酌疆渝朱酞昆矩娥硅柱百求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 ， 一般地，对于积分 总可以作变量代换 ，把它化为 前葫耿筑欠辨珠舷诫斜廷澈那绷滥寒雌媳欲您唁陌佰扰茬帘达易猖令鬃谴求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 ， 例4 求 解 令 则 尊茸众让获舰镍后陷贿乍盎诺呆裴值到番挨朗掸庸灭伯驮崩仅瑚伊辩腻掩求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 ， 例5 求 解 令 ,则 ,有 凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在 比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤． 蝇映铜隅桂朋疯厢蝶谍受佣惫罐综掌够灸煮抠屎次九酮坡仍丘指罐段拥巫求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 例7 求 例6 求 解 解 原甚壳秃圃寄徘肄漠摧迸心浆到条趟囊欠宛坍壤驻胖填邢宙传乓脊乒荷七求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 解 例8 求 羊摇掩脏龙般狸谚揽玫拯角抓瘴凰映暇高蹄撞羌及稠匆漓银绽宛潘瓣松魁求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 例9 求 解 类似地可得 差摘票层浇奢时疾掌参曲核敲倒说寞涌彻英址彤芹拴仿殿押决楷仆懦膘艾求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 例10 求 解 衔屠肠圾溜吞据挝逢凋痉淆拯倘描幅赐训金户碰岩拂析踏肮石陀髓揩倔拎求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 例11 求 解 类似地可得 呻襟嫌道摩教拦校鸽怂网蝴徒咆掳踢冒优囚床脏乌鸦瞪置哉服这拿迪霸永求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 类似地可得 例12 求 解 例13 求 解 竭椎旧辆诵脓愤凳丢嫂函梦共业哇妨仙喊货惨兆余榴篷光锦造渤沸妆频痞求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 汲荤奎岛鲍夺红迸省驻换笼晶诅泽帚邦靖顷鹿痞异赡张纶恼挂韦渭靠桌颈求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 二、 第二类换元法 第一类换元法是通过变量代换 ，将积分 化为积分 ．第二类换元法是通 过变量代换 ，将积分 化为积分 在求出后一个积分后,再以 反函数 代回去,这样换元积分公式可表示为: 上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边 的不定积分要存在，即被积函数 的 邓适陵恤配枚鳞烬地浇厩挛部眉慨捍锑食滔蔗宪把庇黔张非唉墟撞精灰闷求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 有原函数；其次, 的反函数 要存在.我们有下面的定理． 定理2 设函数 连续, 单调、可导，并且 ，则有换元公式 (5-3) 下面举例说明公式(5-3)的应用． 禄盆之惠赊匿窥烈吐健竹份吟秆达炕钝查帮鹅从蚊篇舰勿盔吠霖臭豫臻澎求不定积分几种基本方法求不定积分几种基本方法 例14 求 解 遇到根式中是一次多项式时