浙教版八年级下专题八菱形判定技巧.doc

专题八 菱形的判定技巧_ (教材P125作业题第4题) 已知：如图7－1，O是矩形ABCD的对角线的交点．作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E. 求证：四边形OCED是菱形． 图7－1 证明：∵DE∥AC，EC∥DB，∴四边形OCED是平行四边形．在矩形ABCD中，AC＝BD，OC＝OA，OB＝OD，∴OD＝OC，∴四边形OCED是菱形． 【思想方法】 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 　如图7－2，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连结CD，求证：四边形ABCD是菱形． 图7－2 【解析】 本题主要考查菱形的判定以及综合利用了角平分线的定义和平行线的性质，利用已知得出AB＝BC是解题关键． 证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.又∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC，同理可证AB＝AD.∴AD＝BC，又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形． 　[2013·雅安]如图7－3，在?ABCD 中，点E、F分别在AB、CD上，且AE ＝ CF. (1)求证： △ADE ≌ △CBF； (2)若 DF ＝ BF，求证： 四边形DEBF为菱形． 图7－3 证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝ BC，∠A ＝ ∠C，又 ∵AE ＝ CF， ∴△ADE ≌ △CBF. (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵AE ＝ CF，∴BE＝DF， ∴ 四边形DEBF是平行四边形．∵DF ＝ BF， ∴四边形DEBF是菱形． 　[2013·盐城]如图7－4，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD，且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD； (2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形． 图7－4 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EAD，又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠EAD. (2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE， ∴∠ABE＝2∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形． 　[2013·遂宁]如图7－5，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE＝DF. 求证：(1)△AED≌△CFD； (2)四边形ABCD是菱形． 图7－5 证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AED和△CFD中， ∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AED＝∠CFD，,∠A＝∠C，,DE＝DF，)) ∴△AED≌△CFD(AAS)． (2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形． 　[2013·临沂]如图7－6，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 图7－6 证明：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC. (2)四边形ADCF是菱形．理由：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝BD＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形． 　[2013·乌鲁木齐]如图7－7，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于E，F，EH⊥AB于H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形． 图7－7 证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠HAE.∵EH⊥AB于H，∴∠AHE＝∠ACB＝90°.又∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE.∴EC＝EH，AC＝AH.又∵∠CAE＝∠HAE，AF＝AF，∴△AFC≌△AFH.∴FC＝FH.∵CD⊥AB于D，∴∠DAF＋∠AFD＝∠CAE＋∠AEC＝90°.又∵∠DAF＝∠CAE，∠AFD＝∠CFE.∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴EC＝EH＝HF＝FC.∴四边形CFHE是菱形． 　[2013·泰安]如图7－8，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上