理想中心压杆问题弹性屈曲.doc

轴心受压构件的稳定 理想轴心受压构件的弹性失稳 理想：材料符合虎克定律；无初缺陷、初偏心；保向力作用；微小变形。 -EIy”≈ -EIy”≈－EI/ρ (小挠度) 图2.1.1 两端简支轴心受压构件 在微弯状态（随遇平衡状态）下建立平衡方程（此时的荷载值为临界荷载）： 设 ，则 （1） 其通解为： （2） 由边界条件： 时得上式中，则 （3） 当时，，得 若，表示为直线平衡状态，不是微弯状态，所以，因此必有，从而得 （1，2，3，……） 由得 （4） 相应的挠度曲线 （1，2，3，……） 图2.1.2 两端简支轴心受压构件挠度曲线 实际上 （Euler临界力） （5） PPcry不稳定平衡 P Pcr y 不稳定平衡 微弯状态，中性平衡 稳定平衡 临界荷载是保持中性平衡状态下的最小荷载。相应的临界应力为 （7） 由于钢材的弹性模量相同，故临界应力仅与长细比有关。 图2.1.3 ? 边界条件和计算长度 图2.1.4 令 ，则 （8） 解为： （9） 边界条件： 当时，， 当时， 由此得三个齐次线性方程式 （10） 微弯时，、、不同时为0，上式有非零解的条件是： （11） 展开上式得 此超载方程的最小根为 于是 （12） 可见一端固定一端自由构件相当于长度的两端简支构件（这是的物理意义）。计算长度的几何意义是构件挠曲曲线上两反弯点的间距，其它支承条件下的计算长度见结构力学教材。 由上述两例可以看出：中性平衡能精确确定临界荷载，并给出挠曲曲线的形状，但不能给出幅度，也不能给出屈曲后路径。 ? 特征值问题（轴心压杆稳定问题的普遍微分方程） 轴心压杆的中性平衡微分方程是一个常系数的二阶线性微分方程。因支承条件不同，方程中含有不同的非齐次项（两端简支时非齐次项为0，即齐次方程）。若对二阶非齐次方程求导二次，消去非齐次项，可得到普遍中性平衡方程式： （13） 其通解为： （14） 积分常数可由两端支承条件确定： 简支端： 和 固定端： 和 自由端： 和 （自由端处反力为零的条件：与轴力在端面分力相等） 上下杆端，可建立四个边界条件，得四个线性齐次方程式 （15） A、B、C、D非零的条件是 =0 （16）= =0 （16） = 上式是具有无限个根的超越方程，取最小根，再由，求出。满足?=0的就叫做特征值，相应的函数就叫做特征函数或特征向量。?=0称为稳定特征方程或简称稳定方程，它是稳定的一个准则。特征函数是中性平衡时的挠曲曲线方程，还包含了一个未定的常数，因此只给出了挠曲的形式，而不能给出确定的幅度，这在上两例中已说明。 有了普遍微分方程，解题时可以从确定边界条件开始，直接由稳定准则?=0求解，而不必每次都先建立微分方程和解此方程。 实际上，普遍中性平衡方程式，可由微弯状态下的微段平衡得到。在此不再赘述。由于轴心压杆是具有无限自由度的连续结构，其平衡微分方程式是一个微分方程，而刚体结构具有有限自由度，平衡方程是一个代数方程。 图2.2.1 轴心压杆弹性屈曲的大挠度理论 图2.2.1 如图所示简支轴心压杆，现取消小变形假定，建立平衡方程如下 式中为杆件的曲率。 为运算方便，上式没采用前述曲率表达式，而采用定义式。 引入，则 （18） 对（曲线坐标）微分一次，且，则 ` （19） 对上式第一项乘以，第2项乘以，并各自积分，得 因 故上式可改写成 或 在原点，（弯矩），利用这个边界条件，得，从而得：或 （20） 这里取负号，是由于增加时，将减小。由上式 积分上下限由至变为至，故上式负号消去，利用三角关系： 得 （21） 为方便计算，引入新函数： ，并定义 （22） 为了将式（21）中的自变量改为，对式（22）两边微分，得 从而得： [(21)式分子] 式（22）两式可写成，可见从变为时，上式变号，故从变至，将从变为。 式（21）中，[（21）式分母] 故式（21）可写为： （23） 式中 （24） 这是第一类完全椭圆积分，其值根据不同的值由数学手册或积分表查得。 由式（23）得，把和，代入得 （25） 由式（25）可求出各个时的。当