数学科研方法初探(完整版)概论.pdf

数学研究方法初探(完整版) 中国田径队为在短跑项目上获得突破，几十年来一贯坚持训练“从难、从严、从实战出 发”和“大训练量”的“三从一大”原则.而这样做的结果不要说在世界级比赛中拿不到奖 牌，甚至在亚洲也难拿冠军．2000年前后，田径教练孙海平通过引入新的训练理念和方法， 在 2004 年的雅典奥运会上，成功地将刘翔推上 110 米栏世界冠军的宝座，让世界华人为之 骄傲和自豪！孙海平在年轻的时候曾当过 8 年的职业运动员.尽管他那时训练刻苦，却一直 默默无闻．当上教练员后，他通过改变训练方式，不但让刘翔在国际田径赛场上傲视群雄， 更没有让其成为昙花一现的流星,这就是方法的功效. 那么，我们从事数学研究有没有方法 可循呢？对此，笔者根据 自己多年从事数学研究的体会，并结合一些数学大师从事数学研究 的经验，对数学研究的方法和策略进行了总结，旨在引导开始从事数学科研的研究生和青年 教师尽快进入数学科研之门. 人贵有自知之明,这里总结的关于进行数学科研的方法也不是放之四海而皆准的真理. 有兴趣的读者可以通过阅读华罗庚、王梓坤等数学大师有关科学研究方法的科普著作以获取 更多数学科研的诀窍，并根据自身特点找出适合自身的数学研究方法. 一、研究的特点、层次和境界 做研究是一个从 search 到 research 的反复过程．对于不同层次的人，人们对他做研究的 要求也是不一样的．根据中国教育的特点，做老师给出的有标准答案的问题是本科生做的事 情，做导师给出的没有答案的问题是硕士生做的事情，而发现问题并寻求解决方法是一个博 士生也是一个科研人员应该做的事情．所以, 对于一个从事数学研究的人来讲, 能提和会提 问题是很关键的．正如一台不能运转的机器，发现故障远比解决故障重要，这也是人们为什 么至今对希尔伯特一百多年前提出的二十三个数学问题津津乐道.所以，一个人要想真正做 研究，他就要学会从学知识到运用知识再到创造知识的转变．如果完成不了这个转变，即使 学生阶段学习成绩再好，也做不好研究． 做科研包含两个阶段：模仿和创新。模仿是人的本能．但要想立业，就得创新。几乎所 有的歌唱家都是从模仿起家的, 但要想成为一名真正的歌唱家，一定要有自己的成名作和代 表作．做数学研究也是如此．对此，数学家华罗庚提出了科研的四种境界：第一种是照葫芦 画瓢模仿．刚开始做科研的人习惯于模仿参考文献做一些小小的改进和推广，没有什么创 新．第二种境界是对现有的方法进行改进用来解决新问题或对现有方法进行修补以更好地解 决老问题．这和第一种境界没有太大的区别，但这样做时，由于现有方法并不完全适用于新 问题，还是有一些改进工作要做的.而且，在用老方法尝试解决新问题的时候可能会产生新 的思路．所以，我们不要小瞧这样的工作. 著名数学家陈景润“1+2”的研究成果就是利用 挪威数学家布朗的“筛法”得到的．但一个人做数学研究不能老局限在这种“攀亲”的境界 里，而要考虑针对新问题有无更有效的方法．这就引出了做科研的第三种境界：用创新性的 方法解决新问题或老问题．这种境界完全有别于前两种境界，是创造力提高的表现．科研的 第四种境界是开辟新领域、新方向．这种拓荒探宝性的工作，其意义不言而喻．它要求很高， 一般人也很难达到． 数学研究的成果大多以论文的形式出现.与上述境界相对应, 研究成果相应地分为如 下层次: 第一能解决实际问题——这是科研成果的最高层次，比如用微分方程刻画导弹或卫 星的运行轨迹；第二能解释某种自然现象，众所周知, 光的反射遵循反射定律：入射角等于 反射角。进一步研究还发现，光线反射为从入射点经镜面到反射点的最短路；第三是所得结 1 果具有所谓的理论意义，至少能自得其乐,被人欣赏——这在老外称为“interesting”， 这 是由数学自身发展的规律所决定的，比如，维尔斯特拉斯构造的处处连续处处不可微的函数； 最后一类就是为完成某些科研任务或晋升而为写论文而写论文. 我国概率统计专家许宝禄 从另一角度将数学研究工作者根据其研究成果分成以下层次：一流的数学家不仅解决了不少 著名的问题，更重要的是开辟了许多重要的领域，提供了新的方法，他们的工作影响着几代 人的研究方向；二流的数学家能在一个方向或几个方向上有系统的工作，并产生一定的影响； 三流的数学研究工作者属于游击队员，他们仅解决了某些数学问题，但没有系统的工作，他 们在某种意义上将数学朝前推进了一点；最后一类数学研究工