对多元函数值域及最值问题求解策略的一些思考.pdf

52 数学教学研究 第33卷第1期2014年1月 对多元函数值域与最值问题求解策略的一些思考 戴定华 (江苏省溧阳中学213300) 多元函数是高考和各类竞赛的热点，由 思维和逻辑来构建数学体系．理解多元函数 于此类题目涉及的知识面广，难度大，往往涉 也应从它的定义开始，相关的技巧、方法是在 及到函数、方程、不等式、三角、平面几何、向 定义的基础上进行的拓展、创造．在高中阶 量等知识，灵活性、综合性很强，解决策略较 段，多元函数以一元函数和二元函数居多．在 多，不仅蕴涵了丰富的数学思想和方法，而且 求解多元函数值域与最值问题时，需要重点 有利于培养学生联想、化归的解题能力． 关注函数三要素中的定义域、对应法则，理清 求解多元函数值域与最值的方法也是琳 白变量满足哪些限制条件，如：多个自变量之 琅满目，如配方法，消元法、判别式法、构造 间是互不影响的独立关系还是具有互相牵制 法、不等式法、代换法、冻结变量法等等，研究 的约束关系；是等量关系还是不等关系；自变 相关解法、技巧的文献资料用浩如烟海来形 量的取值是连续的实数还是离散的整数．还 容决不为过．笔者根据自己的教学实践和思 要关注对应法则的特征，如分式函数、线性函 考，对某些求解方法和策略谈谈自己的一些 数、元的次数等等． 想法． 2消元法使用过程中出现的繁杂情境 1不能忽视多元函数定义 解答多元函数问题困难的根本原因在于 设D为一个非空的咒元有序数组的集 它的多元，因此化多元函数为一元函数是解 合，，为某一确定的对应规则．若对于每一个 决多元函数问题的重要途径之一．消元法实 有序数组(z1，z2’．．·，矗)∈D，通过对应规则际上是数学中转化与化归思想的一种体现． ，，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对 但是，在平时解答多元函数问题时，会遇到以 应规则，为定义在D上的以元函数，记为Y 下情境的困扰： =f(xl，z2，…，z。)，(xl，．272，…，z。)∈D．变2．1向一元函数转化时，是使用现有变量。 量z，，勋，…，z。称为自变量，Y称为因变量． 还是另外引进变量 当n=1时，为一元 例1 已知函数．厂(z)=l≯+2z一1I， 函数，记为y=，(z)，z ∈D；当，z=2时，为二 的取值范围是——． 元函数，记为z=f(x， 解题分析函数n6+n+6是关于自变 y)，(z，y)∈D，如图1 量口，b的二元函数，由函数y=厂(z)的图像 图1 所示．二元及以上的函 (图略)得， 数统称为多元函数． a4虿-lb--I， 数学应该以概念和公理为基，依照数学 目． n2+2口一1—1—26—62， 作者简介：戴定华(1983一)，男，江苏宜兴人，学士． E-mail；ddhua2005@126．COITI 万方数据 第33卷第1期2014年1月 数学教学研究 53 即 (口十1)2+(6十1)2=4． 2A