对多元函数值域及最值问题求解策略的一些思考.pdf

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52 数学教学研究 第33卷第1期2014年1月 对多元函数值域与最值问题求解策略的一些思考 戴定华 (江苏省溧阳中学213300) 多元函数是高考和各类竞赛的热点,由 思维和逻辑来构建数学体系.理解多元函数 于此类题目涉及的知识面广,难度大,往往涉 也应从它的定义开始,相关的技巧、方法是在 及到函数、方程、不等式、三角、平面几何、向 定义的基础上进行的拓展、创造.在高中阶 量等知识,灵活性、综合性很强,解决策略较 段,多元函数以一元函数和二元函数居多.在 多,不仅蕴涵了丰富的数学思想和方法,而且 求解多元函数值域与最值问题时,需要重点 有利于培养学生联想、化归的解题能力. 关注函数三要素中的定义域、对应法则,理清 求解多元函数值域与最值的方法也是琳 白变量满足哪些限制条件,如:多个自变量之 琅满目,如配方法,消元法、判别式法、构造 间是互不影响的独立关系还是具有互相牵制 法、不等式法、代换法、冻结变量法等等,研究 的约束关系;是等量关系还是不等关系;自变 相关解法、技巧的文献资料用浩如烟海来形 量的取值是连续的实数还是离散的整数.还 容决不为过.笔者根据自己的教学实践和思 要关注对应法则的特征,如分式函数、线性函 考,对某些求解方法和策略谈谈自己的一些 数、元的次数等等. 想法. 2消元法使用过程中出现的繁杂情境 1不能忽视多元函数定义 解答多元函数问题困难的根本原因在于 设D为一个非空的咒元有序数组的集 它的多元,因此化多元函数为一元函数是解 合,,为某一确定的对应规则.若对于每一个 决多元函数问题的重要途径之一.消元法实 有序数组(z1,z2’..·,矗)∈D,通过对应规则际上是数学中转化与化归思想的一种体现. ,,都有唯一确定的实数y与之对应,则称对 但是,在平时解答多元函数问题时,会遇到以 应规则,为定义在D上的以元函数,记为Y 下情境的困扰: =f(xl,z2,…,z。),(xl,.272,…,z。)∈D.变2.1向一元函数转化时,是使用现有变量。 量z,,勋,…,z。称为自变量,Y称为因变量. 还是另外引进变量 当n=1时,为一元 例1 已知函数.厂(z)=l≯+2z一1I, 函数,记为y=,(z),z ∈D;当,z=2时,为二 的取值范围是——. 元函数,记为z=f(x, 解题分析函数n6+n+6是关于自变 y),(z,y)∈D,如图1 量口,b的二元函数,由函数y=厂(z)的图像 图1 所示.二元及以上的函 (图略)得, 数统称为多元函数. a4虿-lb--I, 数学应该以概念和公理为基,依照数学 目. n2+2口一1—1—26—62, 作者简介:戴定华(1983一),男,江苏宜兴人,学士. E-mail;ddhua2005@126.COITI 万方数据 第33卷第1期2014年1月 数学教学研究 53 即 (口十1)2+(6十1)2=4. 2A

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