5蒙特卡罗方法.PPT

计算物理 蒙特卡罗方法 蒲丰投针(1/5) 蒲丰投针(2/5) 蒲丰投针(3/5) 蒲丰投针(4/5) 蒲丰投针(5/5) 收敛性、误差和优缺点(1/4) 收敛性、误差和优缺点(2/4) 收敛性、误差和优缺点(3/4) 收敛性、误差和优缺点(4/4) 任意分布的随机数(1/11) 任意分布的随机数(2/11) 任意分布的随机数(3/11) 任意分布的随机数(4/11) 任意分布的随机数(5/11) 任意分布的随机数(6/11) 任意分布的随机数(7/11) 任意分布的随机数(8/11) 任意分布的随机数(9/11) 任意分布的随机数(10/11) 任意分布的随机数(11/11) 粒子输运问题(1/7) 粒子输运问题(2/7) 粒子输运问题(3/7) 粒子输运问题(4/7) 粒子输运问题(5/7) 粒子输运问题(6/7) 粒子输运问题(7/7) 随机过程模拟(1/3) 随机过程模拟(2/3) 随机过程模拟(3/3) 梅氏抽样(1/1) 作业 例：a 粒子衰变的蒙特卡罗模拟 随机现象的观测数据?概率分布函数 观测数据：每隔 Dt半衰期 测量一次放射的 a 粒子数，共测量 N=2608 次，测得 k 个粒子的次数为 nk 408 5 16 10 532 4 27 9 525 3 45 8 383 2 139 7 203 1 273 6 57 0 nk k nk k 分析现象，建立模型 Dt 内的衰变数 k 是随机事件的发生次数，是随机量 k 在有限的平均值 a 上下波动 k 可看作大量( N 足够大)独立(每个原子核的衰变不受其它原子核的影响)试验的结果 事件有相同的很小的概率(原子核衰变的机会相等) k 的上述特征表明： k 近似服从泊松分布 √ 蒙特卡罗模拟 产生 2608 个泊松分布的随机数，统计其中数值等于 k 的个数并与观测值 nk 比较 √ * * 3/lesson/ComputationalPhysics 蒙特卡罗方法 蒲丰投针 收敛性、误差和优缺点 任意分布的随机数 粒子输运问题 随机过程模拟 梅氏抽样 √ 蒙特卡罗方法 又称随机抽样技巧或统计试验方法 以概率统计理论为基础的 能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程 解决一般数值方法难以解决的问题 随着电子计算机的发展而发展 首先在核武器的试验与研制中得到了应用 蒲丰投针 法国数学家蒲丰的1777年出版的著作：“在平面上画有一组间距为 d 的平行线，将一根长度为 l (ld) 的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。” √ 步骤 在桌面上画出间距为 2d 的平行线 准备长度为 2l (ld) 的针 向桌面随机投针 如果针与平行线相交，则计数器 n 加 1 计算：计数器 n 与总投针数 N 的比例(视作相交概率 P ) 概率分析 P = ? 各条平行线地位等同，仅考虑某条平行线附近的情况 平行线方向的 x 坐标对概率没影响 针的中点的 y 坐标在线之间等概率落入(均匀分布在 [0, d])，仅当 y?l 才可能针-线相交 针-线的夹角 q 均匀分布在 [0, p]，q 与 y 独立 x y √ x y 概率 P = 2l / (p d) ，可计算圆周率 3.1795 859 2,520 0.5419 1925 Reina 3.1415929 1,808 3,408 0.83 1901 Lezzerini 3.1595 489 1,030 0.75 1884 Fox 3.137 382 600 1.0 1860 De Morgan,C 3.1554 1,218 3,204 0.6 1855 Smith 3.1596 2,532 5,000 0.8 1850 Wolf p 值 相交数 总投数 针长 时间 实验者 √ 关于蒙特卡罗方法的分析和总结 基本思想 确定所求问题的解是某事件的概率(或某随机变量的数学期望、或与概率/数学期望有关的量，如 p ) 通过试验方法，得出事件发生的频率(或该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，如 P )，求解 数学期望与概率：当随机变量的取值仅为 1 或 0 时，它的数学期望就是事件的概率；反之亦然 数学期望与算术平均值 用随机试验的方法计算积分，将积分看作服从分布密度函数 f (r) 的随机变量 g (r) 的数学期望 通过试验，得到 N 个观察值 r1, r2, …, rN (从 f (r) 中抽取 N 个子样 r1, r2, …, rN )，求 g (r) 的算术平均值 √ 试验方法和次数 试验方法不一定可行 精确的近似解需要巨量的试验次数，但人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的 用计算机模拟随机试验过程，完成巨量的次数 抽象 x 的分布密度函数： q 的分布密度函数： 产生任