张量基础知识摘要.ppt

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4、伴随矩阵 2、正交晶系 正交晶系有3个互相垂直的2次轴。取此三个2次轴为坐标轴 ,仿前述单斜晶体的方法,可定出二阶张量只有3个独立分量,即 晶系 对称特点 二阶张量形式 独立分量数目 立方 四个3次轴 1 四方 六方 三方 一个4次轴 一个6次轴 一个3次轴 2 正交 三个2次轴 3 单斜 一个2次轴 4 三斜 只有1次轴 6 2.6 诺伊曼原理及其应用 研究晶体对称性对物理性质的影响,必须以诺伊曼原理(Neumanns principle)为基础。 诺伊曼原理指出:晶体的任何物理性质所具有的对称要素,必包含晶体所属点群的全部对称要素,即,晶体物理性质的对称性必高于或至少不低于晶体所属点群的对称性。 这个原理是长期来大量事实总结出来的,并且已经经过大量实验检验证明是正确的。 诺伊曼原理的应用当然不仅限于矢量(一阶张量)和二阶张量,而且适用于高阶张量。诺伊曼原理的应用,需要对张量分量逐个的进行计算,因而阶数越高,计算越繁。现在我们介绍一种简便的方法,即下标变换法。 例如,考虑四方点群 中的某二阶张量 ,假定 平行于 轴,则其变换矩阵为 即经过变换后 ,若将正负号与下标结合,则可简写为 于是二阶张量分量的变换为 二阶张量 三阶张量 四阶张量 张量定义 定义:在坐标变换时,满足如下变换关系的量称为张量 张量的阶数--自由标数目n;对于三维空间,张量分量的个数为3n个,变换式也有3n个。 以上张量的定义的物理实质在于:一个张量代表着一个物理量,这个物理量遵从一定的物理定律,而不是依赖于坐标系的选法。当坐标系变换时,物理量并不改变,只是描述的方法随之而变。因此,当坐标系变换时,张量的分量应有随之而变的规律,这就是上述的数学定义。 小结: 所谓张量是一个物理量或几何量,他由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。 张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零阶张量;矢量是一阶张量;应力张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高阶张量。 2.3 张量的运算 一、张量的加法 若 皆为二阶张量,则 也为二阶张量,于是我们定义 为 之和。这就是二阶张量的加法,并表为C=A+B。 以此类推,若A,B为两个同阶张量,则A,B相应分量之和构成新的同阶张量C,记作C=A+B。 同样,作为加法的推广,标量a与张量 的乘积即为a 。 二、张量的乘法 若 为二阶张量, 为一阶张量,则可以证明 为三阶张量,于是我们定义 为 与 之积,表示为C=AB。 以此类推,若A,B是阶数各为m,n的张量,则A,B分量的积构成一个m+n阶的张量C,称为A,B的积,表示为C=AB。 三、张量的收缩 在三阶张量 中,如果让 并对 求和,即 则 为一阶张量,此种运算称为张量的收缩。这种运算所得张量的阶数比原张量的阶数少2。 特别是:当C为两个张量A,B的积,例如 若令 ,并对 求和,即 则称D为A,B收缩所得的张量,阶数3=5-2,表为D=A?B. 收缩可以不止一次,例如对两对下标求和,则称为收缩两次。例如 所得张量Q的阶数为1=5-2×2,表为Q=A:B. 2.4 对称张量的性质 一、对称张量和反对称张量 张量T的分量如有关系

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