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学习“圆的切线”三步曲 一、理解圆的定义 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 理解这个定义，必须抓住两点：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。 二、辩明切线的特征 切线具有下列特征： 1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线与⊙O切与点A，则A是直线与⊙O的唯一公共点； 2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线是⊙O的切线，切点是A，⊙O的半径为，则OA； 3、切线垂直于经过切点的半径，直线是⊙O的切线，切点是A，则⊥OA； 4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线是⊙O的切线，⊥OA，则A是切点； 5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线是⊙O的切线，A为切点，直线⊥OA，则OA一定经过圆心。 说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式； （2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。 三、掌握切线的判定方法 总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种： 1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一； （2）要证明已知直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径；如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。 例1、已知，如图所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，∠A=30°，AD=DC，求证：CD是⊙O的切线 分析：点D是直线CD与⊙O的公共点，连接点D与圆心得到半径，再证半径OD与直线CD垂直，即“连半径，证垂直”。 证明：连接OD，∵∠A=30°，AD=DC，∴∠C=∠A=30°， ∴∠ADC=180°30°30°=120°，∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A=30°，∴∠CDO=180°30°=90°， 而CD经过半径的外端，∴CD是⊙O的切线 例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，为半径画圆，当=4.8时，直线AB和圆有怎样的位置关系？并说明理由。 分析：直线AB与圆O的公共点没有确定，过圆心C作直线AB的垂线CE，证明线段CE等于半径，即“作垂直，证半径” 解：直线AB和圆相切 证明：作CE⊥AB于点E，∵，，， ∴， 又∵， ∴，∵=4.8，∴， ∴直线AB和圆相切。 - 3 -