大学微积分经济管理类.ppt

微 积 分 章学诚 刘西垣 编著 第三章 导数和微分 第三章 导数和微分 3.1 导 数 概 念 小 知 识 小 知 识 小 知 识 3.2 求 导 法 则 3.3 基本导数公式 3.4 高 阶 导 数 3.5 函数的微分 3.6 导数和微分在经济学中的简单应用 例 2 求函数 在点 x = 1 的微分当Δx = 0.003 时的值. 解 所以 例 3 求下列函数的微分: 1) e cos x; 2) ln |x| (x≠0). 解 1) 因为 (e cos x )? = - e cos x sin x, 故 d e cos x = - e cos x sin x dx. 例 3 求下列函数的微分: 1) e cos x; 2) ln |x| (x≠0). 解 2) 因为 故当 x 0 时, 当 x 0 时, 所以 从而 例 4 求 sin 31o 的近似值． 解 对函数 y = sin x, 点 应用近似公式 (3.13)?, 有 3.5.2 基本微分公式 由基本导数公式和微分与导数的关系式 (3.14), 可得下列基本微分公式： (1) dC = 0; (2) d xμ =μxμ-1dx; (3) d a x = (a x ln a) dx, 特别, d e x = e x dx; (4) 特别, (5) d sin x = cos x dx; (6) d cos x = - sin x dx; (7) d tan x = sec2x dx; 函数 y = f (x) 的微分 dy = y? dx 或 d f (x) = f? (x)dx. (3.14) (8) d cot x = - csc2x dx; (9) d sec x = sec x tan x dx; (10) d csc x = - csc x cot x dx; (11) (12) (13) (14) 这些微分公式在积分运算中有重要应用． 函数 y = f (x) 的微分 dy = y? dx 或 d f (x) = f? (x)dx. (3.14) 3.5.3 微分法则 由函数的求导法则可得到相应的微分法则． 关于函数的和、差、积、商的微分法则, 有 d(u±v) = du±dv, d(uv) = udv + vdu, 例如: 从函数的商的求导法则 由公式 (3.14) 和 du = u? dx, dv = v? dx, 即有 函数 y = f (x) 的微分 dy = y? dx 或 d f (x) = f? (x)dx. (3.14) 类似地, 可以证明另外两个微分公式. 复合函数的求导法则在导数计算中有重要作用, 从这个求导法则可以得到复合函数的微分法则． 设 y = f (u), u = g(x), 则对于复合函数 y = f (g(x)) 有 所以 dy = y? dx = f? (u) g? (x) dx. (*)1 而对于函数 u = g(x), 其微分 du = g? (x) dx, 从而由 (*)1, 得 dy = f? (u) du. (*)2 这说明, y 作为自变量