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1.4 条件概率及有关公式 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式 四、贝叶斯公式 一、条件概率的定义及性质 全概率公式 贝叶斯公式 我们把事件A看作某一过程的结果,把B1,B2,…,Bk,…看作该过程的若干个原因 则我们可以用全概率公式计算结果发生的概率,即求P(A) 全概率公式的使用 根据历史资料,每一原因发生的概率已知,即已知P(Bk) 而且每一原因对结果的影响程度已知, 即已知P(A|Bk) 例6 两批相同种类的产品各有十二件和十件,每批产品中各有一件废品,现在先从第一批产品中任取一件放入第二批中,然后再从第二批中任取一件,求这时取到废品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有, 又有, 由全概率公式,有: 关键: 划分? 该球取自哪号箱的可能性最大? 实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 通常,由某一原因:互不相容的 B1,B2,…,Bn?结果: A 如果在试验前P(Bi)及P(A|Bi)已知,现在进行一次试验,事件A的确发生了,重新估计Bi ,即计算P(Bi|A) 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 . 1 2 3 1红4白 ? 某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A) 运用全概率公式 计算P(A) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 1红4白 ? * * 例, 设10张彩票中只有一张中奖票,10人同时摸这10张,张三和李四各得一张 记 A:{张三中奖} B:{李四中奖} 由古典概率模型知: 现在设李四先刮开彩票,已知李四有没有中奖的信息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响? 显然,如果李四中奖,那么张三就没有机会中奖 也就是说:在事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为0,记 P(A|B)=0 如果已知李四没中奖,张三中奖的机会有多大? 也就是说:在事件B没发生的条件下,事件A发生的概率为多少? 在“事件B已发生”的条件下,事件A发生的概率称为B条件下A的条件概率,记为P(A|B) 定义: 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有: 分析: ?: n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为m中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的某一样本点发生,故 相当于“缩小了样本空间” 条件概率的 性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(?|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互斥,则 另有: P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B) ?P(A1A2|B) 2)从加入条件后改变了的情况去算 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0 掷骰子 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: 解法2: 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 例2 设某厂生产的灯泡能使用1000小时以上的概率为0.9,能使用1500小时以上的概率为0.3, 如果有一个灯泡已经使用了1000小时没有损坏,求它能使用1500小时以上的概率 解: A: “灯泡能使用1000小时以上” B:“灯泡能