11 1常数项级数的概念和性质.ppt

第十一章 第一节 一、问题的提出 收敛的必要条件 三、基本性质 要点: 收敛的必要条件: * 无穷级数 无穷级数 无穷多个数相加. 内容： (1) 判断无限项的和是否存在并求和; (2) 将一般函数分解为无穷多个简单函数的和. 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 第十一章 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 这个和逼近于圆的面积 A . 正 形的面积 二、级数的概念 1.级数的定义: 如何理解无穷多个数相加？ 无限项的和理解为有限项的和的极限。 2. 级数的收敛与发散: 先求 前 n 项的和， 所以判断无穷级数是否收敛就是判断其部分和数列是否有极限。 如果一个无穷级数收敛， 无穷级数收敛的几何解释: 解: 级数收敛 级数发散 发散 发散 综上 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 周长为 面积为 第 次分叉： 于是有 结论：雪花的面积有限，而周长是无限的． 解： 解： 一般的， 所以级数发散. 注：调和级数增长得非常慢。 解： 证明： 反之不真。 注意：此性质是用来判断级数发散的. 解： 所以级数发散. 结论: 级数的每一项同乘以一个非零的常数,敛散性不变. 结论:两个收敛级数逐项相加减所得的级数也收敛. 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 证: 一个收敛级数加一个发散级数必发散。 注：两个发散级数逐项相加不一定发散。 例如, (反证法可证) 解： 证明： 结论: 级数的敛散性与级数前面有限项无关。 性质3. 在一个级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.（但和有影响） 去掉前k项得 新级数的部分和 设原级数为 常数项级数的概念和性质 第一节 无穷级数的概念: 无限项的和理解为有限项的和的极限。 所以判断无穷级数是否收敛就是判断其部分和数列是否有极限。 无穷级数收敛的几何解释: