12 习题课.PPT

第十一章习题课 一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 【例1】 若级数 利用比值判别法, 可知原级数发散. P323 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、利用级数求数列极限 三、求幂级数收敛域的方法 【例3】求幂级数 ［法2］ ［练习］ 五、利用幂级数求数项级数的和 六、函数的幂级数展开法 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷级数 第十二章 习题课 四、幂级数和函数的求法 一、数项级数的审敛法 三、求幂级数收敛域的方法 二、利用级数求数列极限 五、利用幂级数求数项级数的和 六、函数的幂级数展开法 常数项级数 函数项级数 一、主要内容 求和 展开 (在收敛域内进行) 【基本问题】 判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , ［概念］ 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 常数项级数审敛法表格一览 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则由题设 收敛 收敛 收敛 【练习题】 P322 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 P322 题2. 判别下列级数的敛散性: ［提示］ (1) 由比较法的极限形式可知级数发散 用比值法, 可判断级数 再由比较法可知原级数收敛 . 收敛, 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 时收敛; 时发散. 时发散. ［练习］ P323 题4. ［提示］ 因 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 所以 收敛，同理 收敛。 和 也收敛 . 都收敛, 证明级数 P323 题3. 设正项级数 ［提示］ （1）因 【练习】 设正项级数 和 都收敛, 证明级数 ［提示］ (1) P 1 时, 绝对收敛 ; 0 p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得大级数 原级数绝对收敛 . 故 因 单调递减, 且 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 但由于 与调和级数比较,知 发散 因 所以原级数绝对收敛 . 【例2】 【解】 P323 题6 【解】 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . P323 题7. 求下列级数的收敛域: 【练习】 【解】 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛区间为 【解】 因 故收敛区间为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; ? 求部分和式极限 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内逐项求导，逐项积分） （常用的幂级数展开公式） 四、幂级数和函数的求法 ［解 ］ 易求出级数的收敛域为 先求出收敛区间 则 设和函数为 【解】 (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 P323 题8. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, (4) 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 1.利用常见的幂级数展式求数项级数的和 【解】 原式 = 的和 . P323 题9(2). 求级数 2.构造幂级数法——阿贝尔法 【例4】 【解】 【例5】 【解】 即 * *