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第二章　谓词逻辑 合肥工业大学理学院 邢燕 2.1　谓词的概念与表示 命题逻辑的局限性： 下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) ? R ，难证其为重言式。 2.1　谓词的概念与表示 谓词　在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。 例：(1)3是有理数。　(2)x是无理数。 　　 (3)阿杜与阿寺同岁。 　 　(4)x与y有关系L。 其中，“是有理数”、“是无理数”、“与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。前两个是指明客体性质的谓词，后两个是指明两个客体之间关系的谓词。 2.1　谓词的概念与表示 将上述谓词分别记作大写字母F、G、H、L，用小写字母表示客体名称，则上述可表示为： (1)F(3)　　　　(2)G(x) (3)H(a,b)　　a:阿杜　b:阿寺 (4)L(x,y) 谓词填式　单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。 2.1　谓词的概念与表示 n元谓词　由n个客体插入到固定位置上的谓词填式。 例如：A(b)称作一元谓词，B(a, b)称作二元谓词，L(a, b, c)称作三元谓词，P(x1 , x2 , …, xn)称作n元谓词。 注意：代表客体名称的字母，它在多元谓词中出现的次序是固定的，与事先约定的次序有关，如L(a, b, c)和L(b, c, a)代表两个不同的命题。 2.2　命题函数与量词 例：H是谓词“能够到达山顶”，t表示老虎，c表示汽车，z表示张三，那么H(t), H(c), H(z)表示三个不同的命题，但它们有一个共同的形式H(x)，当x分别取t, c, z 时。 L(x, y)表示“x小于y”，那么L(2, 3)表示了一个真命题“2小于3”，而L(5, 1)表示假命题“5小于1”。可以看出，L(x, y)本身不是一个命题，只有当变元x, y取特定的客体时，才是一个命题。 2.2　命题函数与量词 简单命题函数　由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。 复合命题函数　由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命题函数。 2.2　命题函数与量词 命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定名称时，才能成为一个命题。 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是否成为命题及命题的真值极有影响。 例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生，则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 2.2　命题函数与量词 个体　可以独立存在的具体的或抽象的客体。 个体常量：具体的或特定的，一般用a,b,c,…表示。 个体变元：抽象的或泛指的，一般用x,y,z,…表示。 个体域　个体变元的论述范围。 全总个体域　把各种个体域综合在一起作为论述范围的域。 2.2　命题函数与量词 量词　用来表示个体常量或变元之间数量关系的词。量词分为两种： 全称量词　表示“一切”,“所有”,“凡”,“每一个”,“任意”等意的词称为全称量词，记作?。 如：?x 表示个体域内所有的x。 存在量词　表示“某个”,“对于一些”,“存在一些”,“至少有一个”等意的词称为存在量词，记作?。 如：?y 表示个体域内存在一些y。 2.2　命题函数与量词 例：用谓词表达式写出下列命题。 (1)凡是人都呼吸。 (2)有的人是左撇子。 解：令F(x)：x 呼吸。G(x)：x 是左撇子。 当个体域为人类集合时： (1) ?xF(x) (2)?xG(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x)：x 是人。 (1) ?x(M(x) ?F(x)) (2) ?x(M(x)∧G(x)) 2.2　命题函数与量词 约定：以后如不指定个体域，默认为全总个体域。 特性谓词　在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域。当使用全总个体域时，对客体变元的变化范围限制的词，称作特性谓词。 如上例中，M(x)为F(x)和G(x)的特性谓词，它限定了变元x的范围。 一般，对全称量词，特性谓词常作条件的前件；对存在量词，特性谓词常作合取项。 2.2　命题函数与量词 例：将下列命题符号化，并讨论其真值。 (1)所有的人都长头发。 解: 令M(x): x是人。F(x)