5 4换元积分法.ppt

第四节 基本思路 一、第一类换元法 例1. 求 例5. 求 例6. 求 例8. 求 例9. 求 常用的几种配元形式: 例10. 求 例11. 求 例13. 求 例14. 求 解法 2 例15 . 求 小结 二、第二类换元法 定理2 . 设 例4. 求 例5. 求 例6. 求 作业 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 二、第二类换元法 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第五章 第二类换元法 第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 可导, 则有 定理1. 则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 故 原式 = 注: 当 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 想到公式 例2. 求 解 想到公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 原式 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 想到公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 想到 解: (直接配元) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解（一） 解（二） 解（三） 注意：观察重点不同，所得结论不同. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似 解: ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 例12. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 解法2 两法结果一样 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样可证 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例16. 求 解 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17. 求 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 例18. 设 求 . 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 例1. 求 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 当被积函数含有两种或两种以上的根 式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例2. 求 解 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *