插值方法基本思想.ppt

插 值 法 基 本 思 路 张兴元 2011年8月 一元多项式插值 教学内容 插值问题 插值问题求解方法（重点） 线性插值 二次插值 n次插值 分段线性插值 Hermite插值 分段三次Hermite插值 样条插值函数（难点） 要求 掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法 插值问题 1. 提法 已知 n+1 个节点 (xj , yj)，j=0,1,…，n，其中 xj 互不相同，不妨设a=x0x1…xn=b，求任一插值点 x*(≠xj) 处的插值 y*。(xj，yj)可以看成是由某个函数 y=g(x) 产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式，也可以未知。 2、求解的基本思路 构造一个相对简单的函数y=f(x)，使 f(x) 通过全部节点，即 f(xj)=yj（j=0,1,…,n），再用 f(x) 计算插值，即 y*=f(x*)。f(x)称为插值函数。 如果 f(x) 为 k 次多项式，f(x) 就是插值多项式，此时插值为代数插值； 如果 f(x) 为有理函数，就是有理插值； 如果 f(x) 为三角函数，则为三角插值。 多项式插值----线性插值 线性插值----两点式方程 线性插值----点斜式方程 线性插值---余项 多项式插值----二次插值 二次插值----Lagrange基函数方法 二次插值----Newton均差法 二次插值----余项 多项式插值----n次插值 n次插值----存在性、唯一性 n次插值----插值多项式的构造 方法一：Lagrange型插值多项式 n次插值----插值多项式的构造 方法二：Newton型插值多项式 n次插值----插值余项与事后误差估计 插值余项 n次插值----示例 多项式插值的震荡性质 多项式插值的震荡性质 多项式插值的震荡性质 多项式插值----分段线性插值 多项式插值----分段线性插值 多项式插值----分段线性插值 多项式插值----Hermite插值 多项式插值----Hermite插值 多项式插值----Hermite插值 多项式插值----Hermite插值 多项式插值----Hermite插值 多项式插值----Hermite插值的插值余项 多项式插值----Hermite插值的插值余项 多项式插值----Hermite插值的插值余项 多项式插值----分段三次Hermite插值 多项式插值----分段三次Hermite插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 多项式插值----样条函数插值 作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。 可构造两点三次Hermite插值多项式 其中 分段三次Hermite插值多项式， 余项为 分段插值的思想及优缺点 1、思想： 将图形分段，每段为一个低阶多项式 Sk(x)，并在相邻点之间进行多项式插值，组成一个分段的多项式曲线。 2、分类： （1）、分段线性插值 优点：简单； 缺点：连续但不光滑，曲率不连续变化。 （2）、分段二次多项式插值 优点：简单； 缺点：偶数点 x2k 处曲率变化很大，曲率不连续变化。 3、改进方法： 利用分段三次样条插值：分段三次多项式，连续，光滑，曲率连续变化，多项式的次数较低。 什么是样条: 是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 1. 三次样条插值函数的定义 2. 确定三次样条插值函数的条件 3. 三次样条插值函数的构造方法 3.1 用节点处一阶导数表示的三次样条插值函数 整理后，得到 引入记号 则有方程组 该方程组为三对