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第四讲构建数学理论的基本方法——公理化方法 本讲内容 数学公理化方法的历史演进过程——关于几何公理体系 实质公理化与形式公理化 数学公理化方法的逻辑特征 所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出 其它命题，建立起一个演绎系统的方法。 数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定 ——恩格斯  ??公理化方法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。 ??公理化方法的发展，大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。 数学公理化方法的历史演进 ——关于几何公理体系 欧几里德几何 历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体系的是欧几里德，他的工作集中体现在他的《几何原本》中。 Quotations: The laws of nature are but the mathematical thoughts of God. There is no royal road to geometry. 欧几里得 《几何原本》受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德的影响 毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证明的演绎学科来进行研究的方向。 亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学的“三段论公理体系”。 ?? 欧几里德首先指明了几何学的研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后，引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明而采用的5个公设，进而又引进了更为一般的5个断言作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推演出465个命题。 《几何原本》的问世，在数学的发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学乃至科学的发展起了巨大的推动作用。 它也成为公认的、历史上第一部巨大的科学典籍。 它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求论述其规律的基础。 它基本上完善了初等几何的体系，这正如黑格尔所说：“初等几何就欧几里得所遗留给我们的内容而言，已经可以看作相当完备了，不可能有更多的进展”。 它所体现的演绎美对数学美学思想的发展也起到了不可低估的作用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进……，推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。（爱因斯坦语）。 几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而得到如此之多的结果。 它倡导的公理化方法，为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。 牛顿采用欧几里德的公理化方法，把他之前的众多的物理学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研究的力学知识排列成逻辑的体系，组成一个有机的整体。他的名著《自然哲学的数学原理》从力学三大运动定律出发，按照数学的逻辑推理把力学定理逐个必然地引申出来。 About Elements ??The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time. ?? It is also the worlds second most popular book, coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world. English Version “此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改．有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。 有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”。 ——徐光启《几何原本杂议》 中文版 ??1606年，由意大利传教士利玛窦口译，明代进士、数学家徐光启执笔，合作译完欧几里得《几何原本》前6卷，1607年在北京雕版刊行．徐光启亲