数学建模中的差分法.ppt

差分方程模型 二 差分方程平衡点的稳定性 练习：竞争猎兽模型 斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有其他种群存在的情况下，每个单种群都可以无限地增长，即在一个时间区间里（如一天）其种群量的变化与该时间区间开始时的种群量成正比。而第二种群的存在 降低了另一种群的增长率。假定这种增长率的减少与两种群的数量之积成正比。 试建立数学模型考察两种群的演化规律。 一 建立模型 根据题意，建立差分方程组 二 模型求解 求平衡点 在平衡点处两种群的种群量不会发生变化。 即如果一开始它们数量为150和200时，那么每天数量都保持不变。 * 西北大学数学系 * 一 差分方程 1 差分： 设函数 ，记为 ，当 t 取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列， 则差 称为函数 的差分，也称一阶差分，记为 ，即 二阶差分 同理，可定义三阶差分等。 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。 差分的性质： 2 差分方程：含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如 3 差分方程的阶 方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。 不同形式的方程可互相转化。 4 差分方程的解 如果一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该方程的解。 例 一阶线性方程 有解 类似于微分方程可定义初值条件，特解等。 1 对于一阶线性常系数差分方程 满足方程 的解，称为上方程的平衡点。 即平衡点为 由于 方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面方程零点的稳定性。 方程（2）的解可表示为 可得到下面的稳定性结论。 当且仅当 时，方程（2）的平衡点（零点）是稳定的，从而 方程（1）的平衡点稳定。 对于n维向量 常数矩阵A构成的方程组 称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。 结论1 若 r(A) 1 ，则其平衡点是全局渐近稳定； 若 r(A)1，则其平衡点是不稳定的； 若 r(A)=1，稳定性不确定。 A的特征根的集合 称为矩阵A的谱，称 为矩阵A的谱半径。 2 对于二阶线性常系数差分方程 平衡点为 为了得到（4）零点的稳定性 我们求解方程（4）。 写出特征方程 解出特征值 通解为 其中常数 由初值条件 确定。 当且仅当 时，方程（4）的平衡点是稳定的。 结论2 非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方 程（4）来研究。 对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根 3 一阶非线性差分方程 平衡点 通过求解方程 而得到。 研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部分的稳定性。 将方程（6）的右端在 点作泰勒展开只取一次项， （6）近似为 也是（7）平衡点。 当 结论3 时，方程（6）与（7） 平衡点的稳定性相同。 结论4 当 时，方程（7）平衡点是稳定的； 当 时，方程（7）平衡点是不稳定的。 三 常微分方程向差分方程转化（数值解） 1 Euler 方法 求初值问题的近似解。 只要给定 就可求得 先把自变量所在的区间 n 等分； 例1 从 出发并取 ，求下列初值问题 的近似解。 解 继续下去，自变量使用等间隔值，并生成其 n 个值，令 步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。 优点：容易编程计算。 例2 从 出发并取 ，求下列初值问题 的近似解。 解 解 Malthus 模型 的离散形式 例3 对于方程组的情形，Euler 方法同样可用。 先把自变量所在的区间 n 等分； 步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。 对捕食模型 用Euler法求出前三次逼近，初始条件为 解 第一组点： 第一组点： 第二组点： 第三组点： 继续下去，就可生成数值解 表。 如果方程组为自治系统，在相平面上就可得到 近似的轨线图 。 上机练习1： 对捕食模型 用Euler法，在相平面上画出轨线的近似图，观察其变化情况。 2 Runge-kutta型方法 也是用来求初值问题的近似解，但比Euler 方法收敛更快。 先把自变量所在的区间 n 等分； Euler 方法 常取 单步方法。 四 差分方程模型举例 1 差分形式Logistic 模型 离散化 变形 令 b= r + 1 1）平衡点及其稳定性 求平衡点： 平衡点为 根据稳定的条件 当 b1，只有一个稳定的平衡点， 当 1b3， 变成不稳定的，而 成为稳定的， 当 b