数学建模案例分析.ppt

一、汽车刹车距离问题 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 背景与问题 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” 便携式数控切割机/ ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 问题分析 常识：刹车距离与车速有关 10英里/小时(?16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(? 9米) 车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 刹车距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。 车速 常数 反应距离 制动距离 常数 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 F ? m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 模 型 最小二乘法 ? k=0.06 计算刹车距离、刹车时间 车速 (英里/小时) (英尺/秒) 实际刹车距离（英尺） 计算刹车距离（英尺） 刹车时间 （秒） 20 29.3 42（44） 39.0 1.5 30 44.0 73.5（78） 76.6 1.8 40 58.7 116（124） 126.2 2.1 50 73.3 173（186） 187.8 2.5 60 88.0 248（268） 261.4 3.0 70 102.7 343（372） 347.1 3.6 80 117.3 464（506） 444.8 4.3 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 模 型 车速 (英里/小时) 刹车时间 （秒） 20 1.5 30 1.8 40 2.1 50 2.5 60 3.0 70 3.6 80 4.3 车速（英里/小时） 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4 二、划艇比赛的成绩问题 赛艇 2000米成绩 t (分) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。 问题 准备 调查赛艇的尺寸和重量 l /b, w0/n 基本不变 问题分析 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 划浆 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 浆手数量 艇 重 浸没 面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 艇的静态特性 艇的动态特性 3）w相同，p不变，p与w成正比 浆手的特征 模型建立 f sv2 p w v (n/s)1/3 s1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩 t n – 1/9 np fv 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 最小二乘法 利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n – 1/ 9 进