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第八章 方差分析与回归分析 §8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归 §8.1 方差分析 8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。 例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示： 表8.1.1 鸡饲料试验数据 本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为此，把饲料称为因子，记为A，三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表示，i=1, 2, 3, j=1, 2,?, 10。我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进行解决。 8.1.2 单因子方差分析的统计模型 在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其为单因子试验。 通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r个水平，记为A1, A2,…, Ar，在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，现有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定： 每一总体均为正态总体，记为 N(?i ,? i 2)， i＝1, 2,…, r ； 各总体的方差相同: ? 1 2=? 22=…=? r2 =? 2 ； 从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即所有的试验结果 yij 都相互独立。 我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验: H0 ：?1 =?2 =…=?r （8.1.1） 备择假设为 H1 ：?1, ?2, …, ?r 不全相等 在不会引起误解的情况下， H1 通常可省略不写。 如果H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之，当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，这时称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。 为对假设（8.1.1）进行检验，需要从每一水平下的总体抽取样本，设从第i个水平下的总体获得m个试验结果，记 yij 表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如下n=r?m个试验结果： yij， i＝1, 2,…, r ， j＝1, 2, …, m, 其中r为水平数，m为重复数，i为水平编号， j 为重复编号。 在水平Ai下的试验结果yij与该水平下的指标均值 ?i 一般总是有差距的，记 ?ij = yij??i， ?ij 称为随机误差。于是有 yij = ?i +?ij （8.1.2） （8.1.2）式称为试验结果 yij 的数据结构式。 单因子方差分析的统计模型： （8.1.3） 总均值与效应: 称诸 ?i 的平均 为总均值. 称第 i 水平下的均值 ?i 与总均值 ? 的差: ai=?i -? 为 Ai 的效应。 模型（8.1.3）可以改写为 (8.1.8) 假设（8.1.1）可改写为 H0 ：a1 =a2 =…=ar =0 （8.1.9） 8.1.3 平方和分解 一、试验数据 通常在单因子方差分析中可将试验数据列成如下页表格形式。 表8.1.2 单因子方差分析试验数据 总偏差平方和 表示，其自由度为fT=n?1； 组间偏差平方和 也称为因子A