数学建模概述.ppt

* 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ， 根据目前的技术条件和燃料能， u只能达到3公里/秒, mS/mS+mF仅能达到0.1,即使发射空壳火箭,其末速度也不超过7.0公里/秒。 目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星. 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP,所以最终速度为： 火箭系统的质量 * (i) 我们讨论的理想的n级火箭系统中, 各 级的比值λ和相对喷射速度 u 相同 (ii) 设第级火箭质量为mi , 则其结构质量应 为mi，燃料质量为(1- λ )mi，并约定荷 载卫星为第n+1级，并记 模型假设 多级火箭系统 * 建立模型 系统的初始质量 第i级火箭工作时的系统初始质量 剩余质量 由公式(1), 不难逐级递推计算出第i级速度 多级火箭系统 * 假设：第i 级火箭开始工作时，设其初始质量与负 载质量比为常数，即有 由于 从而 时, 由式(2)可得到最终速度 注意到，要使载荷尽可能高，等价于比值 最小 (常数) 多级火箭系统 * 最后, 可归结为优化问题 不难推断，最优结构设计应满足条件 通过计算得到下表 在此基础上, 取 表1.2 多级火箭的质量 火箭级数 2 3 4 5 … 火箭质量 149 77 65 60 … 50 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。 模型建立 由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。 多级火箭系统 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1.3.4 人口增长预测 目的 指数增长模型——马尔萨斯提出(1798) 常用的计算公式 N(t) ~时刻t的人口 基本假设: 人口(相对)增长率 r 是常数, 今年人口 N0 , 年增长率 r=b-d， k 年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 1. 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 2. 阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率 (N很小时) Nm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是N的减函数 0 dN/dt N Nm Nm/2 Nm t N 0 N(t)~S形曲线, N增加先快后慢 N0 Nm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型有一个稳定的平衡值Nm ,这比指 数增长模型更符合实际。 利用美国人口统计数据，检验上述两个模型 取r=0.03134, Nm=197273000, 得到的计算结果 显示逻辑增长模型与实际误差更小。 这里的参数r和Nm是专家估计给出的，实际上， 它们包括N0都可以通过参数估计得到。 阻滞增长模型(Logistic模型) 估计 中的参数r和N0 对模型取对数，得 用线性最小二乘法（利用计算机计算）可求得 参数a和r，从而得到N0和r。 利用美国1790-1900年数据，算得 N0=4.1184（百万), r=0.2743（每10年） 阻滞增长模型(Logistic模型) 估计 中的参数Nm, r 由 利用数值微分可算出右端值，再利用线性最小 二乘法，即可求得r和s。 利用美国1860-1990年数据计算得 Nm=392.0886, r=0.2557 * * Mathematical modeling Department of Mathemat